اوجد كثيرة الحدود ق (س)

اوجد كثيرة الحدود ق (س) من الدرجة الثالثة في س و التي تقبل القسمة على (س+1) و يكون باقي قسمتها على (س-1) يساوي -2 و باقي قسمتها على (س-2) يساوي 9 و على (س+2) يساوي -11

بما ان ق(س) تقبل القسمة على (س+1)

اذاً ق(س) = (س+1) × (حدودية من الدرجة الثانية )

وبفرض ان هذه الحدودية هى أس² + ب س + جـ

ق(س) = (س+1) × (أس² + ب س + جـ)


الآن : باقى قسمتها على (س-1) يساوى -2  يعنى
ان ق(1) = -2

ق(1) = 2(أ+ب+جـ) = -2 ومنها أ+ب+جـ = -1       (1)

و باقي قسمتها على (س-2) يساوي 9  يعنى ان ق(2) = 9

ق(2) = 3(4أ+2ب+جـ) = 9  بقسمة الطرفين على 3

4أ+2ب+جـ = 3           (2)

و على (س+2) يساوي -11 هذا يعنى ان ق(-2) = -11


ق(-2) = -1(4أ-2ب+جـ) = -11

ومنها 4أ - 2ب + جـ = 11                (3)

بحل (1) ، (2) ، (3) معاً تنتج معاملات الحدودية من الدرجة
الثانية وينتج المطلوب .

أ+ب+جـ = -1             (1)

4أ+2ب+جـ = 3           (2)

4أ - 2ب + جـ = 11       (3)


بجمع (2) ، (3) ..  8أ + 2جـ = 14  بالقسمة على 2

4أ + جـ = 7              (4)

بضرب (2) فى -1 وجمعها مع (3)

-4أ - 2ب - جـ = -3        (2)

4أ - 2ب + جـ = 11       (3)

........... بالجمع ..................

-4ب = 8   ومنها ب = -2   بالتعويض فى (1)

أ - 2 + جـ = -1   ومنها  أ + جـ = 1        (5)

بحل معادلة (4) ، (5)  آنياً .. ( بعد ضرب معادلة(5) فى -1 )


4أ + جـ = 7              (4)

-أ - جـ = -1              (5)

............ بالجمع ...................

3أ = 6    ومنها    أ = 2


بالتعويض فى (1)   أ + جـ = 1   ومنها  2 + جـ = 1


اذاً   جـ = -1

اى ان :

أ = 2     ،  ب = -2      ،  جـ = -1

بالتعويض فى ق(س)

ق(س) = (س+1) × (أس² + ب س + جـ)


ق(س) = (س+1) × (2س² -2س -1)
= 2س³ - 2س² - س + 2س² -2س -1


= 2س³ - 3س - 1

..............................................................................

وهناك حل آخر لكنه طويل ..

ق(س) = (س+1) × (أس² + ب س + جـ)

بتوزيع (س+1) على القوس ..


أس³ + ب س² + جـ س + أس² + ب س + جـ


أس³ + (أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ

الآن كثيرة الحدود تقبل القسمة على (س-1) والباقى -2

بقسمة كثيرة الحدود على (س-1)

أس² + (2أ+ب) س + (2أ+2ب+جـ)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أس³ + (أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ  | (س-1)
                                                    ــــــــــــــــــ
أس³ - أس²
ــــــــــــــــــــ بالطرح ـــــــــــــــــــــــ
(2أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ
(2أ+ب) س² - (2أ+ب) س
ـــــــــــــــــــــ بالطرح ـــــــــــــــــــــــ
(2أ+2ب+جـ) س + جـ
(2أ+2ب+جـ) س - (2أ+2ب+جـ)
ـــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــــــ
(2أ+2ب+2جـ)

هذا معناه ان : 2أ+2ب+2جـ = -2

ومنها نحصل على  أ+ب+جـ = -1         (1)


و باقي قسمتها على (س-2) يساوي 9


أس² + (3أ+ب) س + (6أ+3ب+جـ)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أس³ + (أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ  | (س-2)
أس³ - 2أس²                                     ــــــــــــــــــ
ـــــــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــ
(3أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ
(3أ+ب) س² -2(3أ+ب) س
ـــــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــ
(6أ+3ب+جـ) س + جـ
(6أ+3ب+جـ) س - 2(6أ+3ب+جـ)
ــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــــ
جـ + 2(6أ+3ب+جـ)

هذا يعنى ان : جـ + 2(6أ+3ب+جـ) = 9

ومنها : جـ + 12أ + 6ب + 2جـ = 9

12أ + 6ب + 3جـ = 9   بقسمة الطرفين على 3

4أ + 2ب + جـ = 3                   (2)



و على (س+2) يساوي -11

أس² + (-أ+ب) س + (2أ - ب + جـ)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أس³ + (أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ  | (س+2)
                                                    ــــــــــــــــــ
أس³ + 2أس²
ـــــــــــــــــــــــــ بالطرح ـــــــــــــــــــــــ
(-أ+ب) س² + (ب+جـ) س + جـ
(-أ+ب) س² +2(-أ+ب) س
ــــــــــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــــ
(2أ - ب + جـ) س + جـ
(2أ - ب + جـ) س + 2(2أ - ب + جـ)
ـــــــــــــــــــــــ بالطرح ــــــــــــــــــــــ
جـ - 2(2أ - ب + جـ)


اذاً : جـ - 2(2أ - ب + جـ) = -11

جـ - 4أ + 2ب - 2جـ = -11

-4أ + 2ب - جـ = -11  بضرب الطرفين فى -1

4أ - 2ب + جـ = 11                         (3)


وبحل (1) ، (2) ، (3) ينتج كلاً من أ ، ب ، جـ

ومن ثم التعويض فى المسألة وتوزيع الضرب على القوس


نستنتج ان : ق(س) = 2س³ - 3س - 1

.............................................................