إثبات مبرهنة اويلر (للمهتمين بنظرية الأعداد فقط)

مبرهنة أويلر هو تعميم لمبرهنة فيرما الصغرى .

مضمون المبرهنة :

لكل a و n أعداد طبيعية بحيث a و n عددان اوليان
فيما بينهما فإن :

a^∅(n) ≡ 1 (mod n)     ..l

حيث ألدالة ∅ تسمى بدالة (فاى) او مؤشر اويلر .
....................................................................

إثبات المبرهنة :
ــــــــــــــــــــــــــــ

لتكن المجموعة{r1 , r2 , r3 , r4 , .....,r∅(n)}
نظام بواقى مختزل قياس n .

الآن من خواص النظام عند ضربه فى عدد a مثلاً
فإنه يبقى نظام بواقى مختزل كما هو (نفس الصفة فيه)
بشرط أن يكون a عدد طبيعى وليس له عوامل مشتركة مع n

النتيجة : ll {ar1 , ar2 ,ar3 ,a r4 , .....,ar∅(n)}  ll

ايضاً نظام بواقى مختزل .. بضرب كل هذه العناصر
فإن كل عنصر ari يطابق عنصر وحيد (ووحيط فقط)
من هذه المجموعة .. بحيث i المقصود منها 1 ، 2 ، 3 ...
يعنى ارقام تعريف ( لا أكثر ولا أقل )

ملحوظة : لعدم استاعطى كتابة الصيغة بالرموز
اللاتينية سأتناول هذه الجزئية برموز عربية )

والرمز المكتوب معناه حاصل ضرب عناصر المجموعة .

فاى(ن)       فاى(ن)
-------        ---------
 | | أرi    ≡    | | رi    (مود ن)
 i=1           i=1


فاى(ن)                     فاى(ن)
-------                       ---------
 | | أ^(فاى(ن)) رi    ≡    | | رi    (مود ن)
 i=1                          i=1

ولكن لا توجد عوامل مشتركة بين ر ، ن .. اذاً

أ^فاى(ن) ≡ 1 (مود ن)

الصيغة الأخيرة :


a^∅(n) ≡ 1 (mod n)     ..l

a و n عددان اوليان فيما بينهما .