كيف نعين إحداثى رأس المنحنى فى الدوال التربيعية ؟

احداثى رأس المنحنى فى الصيغة الأولى
y = ax² + bx + c


ll       (-b/2a  , f(-b/2a) )       ..ll

احداثى رأس المنحنى فى الصيغة الثانية

y = (ax+b)²+k


ll              (-b/a  ,  k)         ..ll

والصيغة العامة للإنتقال من الصيغة الأولى الى
الثانية هى طريقة أكمال المربع .
.................................................................

مثال :

y = x² + 4x + 7

نحاول أن نجعل الطرف الأيمن مربع كامل

بحيث يكون الحد الثالث = مربع ½ معامل x

= (2)² = 4

اذاً نفك الـ 7 الى 4 + 3

y = x² + 4x +4  + 3

y = (x + 2)² + 3

اذاً احداثى رأس المنحنى ll     (-2 , 3 )        ..ll‏

...........................................................
مثال "2"

y = 2x² - 8x + 5

لكى يتحقق المربع الكامل يجب ان يتحقق هذا الشرط

                  مربع الحد الأوسط
الحد الثالث = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    4 × الحد الأول


                         (-8)²
الحد الثالث = ـــــــــــــــــــــــــــــ = 8
                        4 × 2


هل 5 كافية ؟

اذاً يمكنك إضافة 3 للـ 5  فتصبح 8
ومن ثم تطرح 3

y = 2x² - 8x + 5 + 3  - 3

y = 2x² - 8x + 8 - 3

y = (sqrt(2)x  - sqrt(8))² - 3

y = (sqrt(2)x - 2sqrt(2))² - 3


احداثى رأس المنحنى ll    ( 2 , -3 )     ..ll‏

حل آخر سهل وواضح :-

y = 2x² - 8x + 5

بأخذ 2 عامل مشترك (للتخلص من معامل x² )

y = 2(x² - 4x+ 2.5)               ..ll

الآن ما داخل القوس مربع كامل اذا وفقط اذا
كان الحد الثالث = مربع ½ معامل x²

الحد الثالث = (½ × 4)² = (2)² = 4

بإضافة 4 داخل القوس وطرحها مرة أخرى ..


y = 2(x² - 4x + 4 - 4 + 2.5)               ..ll


y = 2(x² - 4x + 4 - 1.5)               ..ll

الآن نقوم بإكمال المربع للحدود x² - 4x + 4

y = 2[(x - 2)² - 1.5]        ..ll

ومن ثم نضرب 2 فى القوس كما كانت ..

y = 2(x - 2)² - 3

ويكون احداثى رأس المنحنى ll    (2 , -3)      ..ll


هل هذه الطريقة أوضح ؟