ادرس الشكل الذى فيه النقط (A(-2,3 و (B(2,1 و (C(-5,-1 و النقطة D بحيث المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB
الجمعة، 2 مارس 2012
التسميات:
الجبر,
هندسة تحليلية,
هندسة مستوية
نعتبر النقط (A(-2,3 و (B(2,1 و (C(-5,-1 و النقطة D بحيث المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB
لتكن النقطتين I و J منتصفي القطعتين [AB] و [CD]
على التوالي
1/ أ - ما هي طبيعة الرباعي ABCD مع التعليل
1/ب- حدد زوج احداثياث كل من النقط D و I و J
2/ المستقيم (AC) يقطع المستقيم (BD) في النقطة E
أ - حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (AC) و تمثيلا بارمتريا (BD)
ب- استنتج زوج احداثيات النقطة E
ج- بين أن النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
3/ المستقيم (AD) يقطع المستقيم (BC) في النقطة F
أ- حدد زوج احداثياث النقطة F
ب- بين أن النقط E و F و I و J مستقيمية
4/انشــــاء الشكــــل كامـــــــلا www.
لتكن النقطتين I و J منتصفي القطعتين [AB] و [CD]
على التوالي
1/ أ - ما هي طبيعة الرباعي ABCD مع التعليل
1/ب- حدد زوج احداثياث كل من النقط D و I و J
2/ المستقيم (AC) يقطع المستقيم (BD) في النقطة E
أ - حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (AC) و تمثيلا بارمتريا (BD)
ب- استنتج زوج احداثيات النقطة E
ج- بين أن النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
3/ المستقيم (AD) يقطع المستقيم (BC) في النقطة F
أ- حدد زوج احداثياث النقطة F
ب- بين أن النقط E و F و I و J مستقيمية
4/انشــــاء الشكــــل كامـــــــلا www.
هذا اضرب نموذج للشكل الذى يعنيه السؤال ( فى المراجع )
1/ أ - ما هي طبيعة الرباعي ABCD مع التعليل
1/ب- حدد زوج احداثياث كل من النقط D و I و J
................................................................
كما يظهر واضحاً فى الشكل انه شبه منحرف، والتعليل
كما يلى، لكى نقارن بين متجه ومتجه آخر فى المستوى
من حيث الطول يجب ان يكونوا متوازيين ( لأنهم يعبروا عن اتجاه )
ولكن هناك قاعدة اكبر من قاعدة أخرى .. اذاً طبيعة الشكل هو شبه
منحرف ( غير متساوى الساقين ) كما سنبين لاحقاً .
لكى نحددد زوج الإحداثيات للنقطة D نستعين بالمعطى :
المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB
المتجهة CD = نهايته - بدايته
نفرض ان D هى النطقة (x , y) بحيث ان المتجه CD
= (x+5 , y+1)
ايضاً ضعف المتجه AB = 2(4 , -2) = (8,-4) ll
الآن المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB
(x+5 , y+1) = (8,-4)
x+5 = 8 ومنها x = 3
y+1 = -4 ومنها y = -5
اذاً احداثى النقطة D (-3 , 5) ..l
.................................................
الآن لاحظ ان كلاً من احداثيات J , I هى عبارة
عن منصفات قطعة مستقيمة ، وطبع قانون المنصف
بأن تجمع الإراتيب وتقسم على 2 ، والأفاصيل وتقسم على 2
I = ((2-2)/2 , (3+1)/2) = (0 , 2) ...l
j = ((-5+3)/2 , (-1-5)/2) = (-1 , -3) ..l
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
2/ المستقيم (AC) يقطع المستقيم (BD) في النقطة E
أ - حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (AC) و تمثيلا بارمتريا (BD)
ب- استنتج زوج احداثيات النقطة E
ج- بين أن النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
نفرض ان معادلة AC هى المستقيم y = mx+a
ولكن المستقيم AC يحقق النقتطين A(-2,3) , C(-5,-1) ..l
m = (3--1)/-2--5) = 4/3
y = 4/3x + a
عوض بأى نقطة ولتكن A
3 = -8/3 + a ومنها a = 17/3
اى ان معادلة الخط المستقيم AC هى y = 4/3x + 17/3
........................................................................
تمثيلا بارمتريا (BD) :
نضع المستقيم BD على الصورة y = mx + a
m = (1--5)/2-3) = 6/-1 = -6
y = -6x + a
عوض بالنقطة B(2,1) ..l
1 = -12 + a ومنها a = 13
y = -6x + 13
let y = t
t = -6x + 13
6x = 13 - t
x = 13/6 - t/6
...................................................................
ب- استنتج زوج احداثيات النقطة E
بالنظر الى الشكل تجد ان E تتقاطع خارج الشكل الرباعى
وايجادها يكون بحل المستقيمين AC و BD
AC : y = 4/3x + 17/3
BD : y = -6x + 13
4/3x + 17/3 = -6x + 13
4/3x + 6x = 13 - 17/3
22/3x = 22/3 بقسمة الطرفين على 22/3
x = 1
الآن عوض فى اى معادلة لإيجاد الإحداثى y
y = -6x + 13
y = -6 + 13 = 7
اذا احداثيات E هى E (1 ; 7) ..l
..............................................................
ج- بين أن النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
الحل : نوجد المستقيم Ij بحيث نضعه على الصورة
الديكارتية y = xm+a
بحيث يمر هذا المستقيم بالنقط I (0 , 2) , j(-1 , -3) .l
m = (2--3)/(0--1) = 5
y = 5x + a
عوض بأى نقطة منهم ولتكن I (0 , 2) .l
2 = 0 + a ومنها a = 2
اى ان معادلة المستقيم Ij هى y = 5x + 2
الآن عوض بالنقطة E (1 ; 7) ..l اذا حققت المعادلة
فهى بالفعل تنتمى للمستقيم Ij
y = 5x + 2
7 = 5 + 2
بالفعل تحققها لأن 7 = 5 + 2 = 7
اذاً النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
3/ المستقيم (AD) يقطع المستقيم (BC) في النقطة F
أ- حدد زوج احداثياث النقطة F
ب- بين أن النقط E و F و I و J مستقيمية
الحل : اذا اردنا ايجاد احداثيات النقطة F فإننا نحل
المستقيمين AD و BC معاً بأى طريقة وتستطيع
حلهم بواسطة المصفوفات .
AD يمر بالنقطتين A(-2 , 3 ) , D(3 , -5) ..l
AD : y = mx+a
m = (3--5)/-2-3) = -8/5
y = -8/5x + a
عوض بالنقطة A(-2 , 3 ) ,,l
3 = 16/5 + a ومنها a = -1/5
AD : y = -8/5x-1/5
بنفس الطريقة نوجد معادلة المستقيم BC
الذى يمر بالنقطيتين B(2 , 1) , C(-5 , -1) ..l
BC : y = mx+a
m = (1--1)/2--5) = 2/7
y = 2/7 x + a
عوض بالنقطة B(2 , 1) ..l
1 = 4/7 + a ومنها a = 3/7
BC : y = 2/7x+3/7
الآن نضع :
AD : y = -8/5x-1/5
BC : y = 2/7x+3/7
2/7x+3/7 = -8/5x-1/5
2/7x + 8/5x = -3/7 - 1/5
66/35x = - 22/35 بضرب الطرفين فى 35
66x =- 22
x = -22/66
x = - 1/3
بالتعويض فى اى معادلة لإيجاد الإحداثى y .
BC : y = 2/7x+3/7
y = 2/7 * -1/3 + 3/7
y = 1/3
اذاً احداثى النقطة F هو F(-1/3 , 1/3) ..l
.........................................................
ب- بين أن النقط E و F و I و J مستقيمية
الآن النقطة F تنتمى للمستقيم IJ فى حالة واحدة فقط
اذا كانت تحقق المستقيم هذا المستقيم ..
y = 5x + 2 هذا معادلة IJ
عوض بالنقطة F(-1/3 , 1/3) ..l
لكى نتحقق من ان :
1/3 = -1/3 .5 + 2
بالفعل المعادلة صحيحة تماماً والنقطة F تحقق
المستقيم IJ
ولكننا اثبتنا فى المطلوب الثانى ان النقطة E ايضاً
تنتمى للمستقيم Ij .
اذاً النقط E و F و I و J مستقيمية .
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
4/انشــــاء الشكــــل كامـــــــلا
بالفعل تم انشاء الشكل بالكامل كما فى المراجع .
وهو عبارة عن الشكل E C D .
1/ أ - ما هي طبيعة الرباعي ABCD مع التعليل
1/ب- حدد زوج احداثياث كل من النقط D و I و J
................................................................
كما يظهر واضحاً فى الشكل انه شبه منحرف، والتعليل
كما يلى، لكى نقارن بين متجه ومتجه آخر فى المستوى
من حيث الطول يجب ان يكونوا متوازيين ( لأنهم يعبروا عن اتجاه )
ولكن هناك قاعدة اكبر من قاعدة أخرى .. اذاً طبيعة الشكل هو شبه
منحرف ( غير متساوى الساقين ) كما سنبين لاحقاً .
لكى نحددد زوج الإحداثيات للنقطة D نستعين بالمعطى :
المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB
المتجهة CD = نهايته - بدايته
نفرض ان D هى النطقة (x , y) بحيث ان المتجه CD
= (x+5 , y+1)
ايضاً ضعف المتجه AB = 2(4 , -2) = (8,-4) ll
الآن المتجهة CD تساوي 2 * المتجهة AB
(x+5 , y+1) = (8,-4)
x+5 = 8 ومنها x = 3
y+1 = -4 ومنها y = -5
اذاً احداثى النقطة D (-3 , 5) ..l
.................................................
الآن لاحظ ان كلاً من احداثيات J , I هى عبارة
عن منصفات قطعة مستقيمة ، وطبع قانون المنصف
بأن تجمع الإراتيب وتقسم على 2 ، والأفاصيل وتقسم على 2
I = ((2-2)/2 , (3+1)/2) = (0 , 2) ...l
j = ((-5+3)/2 , (-1-5)/2) = (-1 , -3) ..l
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
2/ المستقيم (AC) يقطع المستقيم (BD) في النقطة E
أ - حدد معادلة ديكارتية للمستقيم (AC) و تمثيلا بارمتريا (BD)
ب- استنتج زوج احداثيات النقطة E
ج- بين أن النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
نفرض ان معادلة AC هى المستقيم y = mx+a
ولكن المستقيم AC يحقق النقتطين A(-2,3) , C(-5,-1) ..l
m = (3--1)/-2--5) = 4/3
y = 4/3x + a
عوض بأى نقطة ولتكن A
3 = -8/3 + a ومنها a = 17/3
اى ان معادلة الخط المستقيم AC هى y = 4/3x + 17/3
........................................................................
تمثيلا بارمتريا (BD) :
نضع المستقيم BD على الصورة y = mx + a
m = (1--5)/2-3) = 6/-1 = -6
y = -6x + a
عوض بالنقطة B(2,1) ..l
1 = -12 + a ومنها a = 13
y = -6x + 13
let y = t
t = -6x + 13
6x = 13 - t
x = 13/6 - t/6
...................................................................
ب- استنتج زوج احداثيات النقطة E
بالنظر الى الشكل تجد ان E تتقاطع خارج الشكل الرباعى
وايجادها يكون بحل المستقيمين AC و BD
AC : y = 4/3x + 17/3
BD : y = -6x + 13
4/3x + 17/3 = -6x + 13
4/3x + 6x = 13 - 17/3
22/3x = 22/3 بقسمة الطرفين على 22/3
x = 1
الآن عوض فى اى معادلة لإيجاد الإحداثى y
y = -6x + 13
y = -6 + 13 = 7
اذا احداثيات E هى E (1 ; 7) ..l
..............................................................
ج- بين أن النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
الحل : نوجد المستقيم Ij بحيث نضعه على الصورة
الديكارتية y = xm+a
بحيث يمر هذا المستقيم بالنقط I (0 , 2) , j(-1 , -3) .l
m = (2--3)/(0--1) = 5
y = 5x + a
عوض بأى نقطة منهم ولتكن I (0 , 2) .l
2 = 0 + a ومنها a = 2
اى ان معادلة المستقيم Ij هى y = 5x + 2
الآن عوض بالنقطة E (1 ; 7) ..l اذا حققت المعادلة
فهى بالفعل تنتمى للمستقيم Ij
y = 5x + 2
7 = 5 + 2
بالفعل تحققها لأن 7 = 5 + 2 = 7
اذاً النقطة E تنتمي الى المستقيم (IJ)
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
3/ المستقيم (AD) يقطع المستقيم (BC) في النقطة F
أ- حدد زوج احداثياث النقطة F
ب- بين أن النقط E و F و I و J مستقيمية
الحل : اذا اردنا ايجاد احداثيات النقطة F فإننا نحل
المستقيمين AD و BC معاً بأى طريقة وتستطيع
حلهم بواسطة المصفوفات .
AD يمر بالنقطتين A(-2 , 3 ) , D(3 , -5) ..l
AD : y = mx+a
m = (3--5)/-2-3) = -8/5
y = -8/5x + a
عوض بالنقطة A(-2 , 3 ) ,,l
3 = 16/5 + a ومنها a = -1/5
AD : y = -8/5x-1/5
بنفس الطريقة نوجد معادلة المستقيم BC
الذى يمر بالنقطيتين B(2 , 1) , C(-5 , -1) ..l
BC : y = mx+a
m = (1--1)/2--5) = 2/7
y = 2/7 x + a
عوض بالنقطة B(2 , 1) ..l
1 = 4/7 + a ومنها a = 3/7
BC : y = 2/7x+3/7
الآن نضع :
AD : y = -8/5x-1/5
BC : y = 2/7x+3/7
2/7x+3/7 = -8/5x-1/5
2/7x + 8/5x = -3/7 - 1/5
66/35x = - 22/35 بضرب الطرفين فى 35
66x =- 22
x = -22/66
x = - 1/3
بالتعويض فى اى معادلة لإيجاد الإحداثى y .
BC : y = 2/7x+3/7
y = 2/7 * -1/3 + 3/7
y = 1/3
اذاً احداثى النقطة F هو F(-1/3 , 1/3) ..l
.........................................................
ب- بين أن النقط E و F و I و J مستقيمية
الآن النقطة F تنتمى للمستقيم IJ فى حالة واحدة فقط
اذا كانت تحقق المستقيم هذا المستقيم ..
y = 5x + 2 هذا معادلة IJ
عوض بالنقطة F(-1/3 , 1/3) ..l
لكى نتحقق من ان :
1/3 = -1/3 .5 + 2
بالفعل المعادلة صحيحة تماماً والنقطة F تحقق
المستقيم IJ
ولكننا اثبتنا فى المطلوب الثانى ان النقطة E ايضاً
تنتمى للمستقيم Ij .
اذاً النقط E و F و I و J مستقيمية .
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
4/انشــــاء الشكــــل كامـــــــلا
بالفعل تم انشاء الشكل بالكامل كما فى المراجع .
وهو عبارة عن الشكل E C D .
1 التعليقات:
شكرا واتمنا ان يكون دلك بالتدقيق
إرسال تعليق