إوجد تكامل (a^(-x^2 حيث a ثابت

هذا النوع من التكاملات يسمى بدالة الخطأ erf
والدالة الأصلية له هى e^-x²  حيث e هو العدد النيبيرى

حيث أن تكامل هذه الدالة من -∞ الى ∞  = جذر(باى)

sqrt(pi) erf(x)                  ..l

الآن نفرض الآتى :

a^-x² = e^-kx²

حيث k ثابت .. بأخذ ln للطرفين


lna^-x² = ln e^-kx²


ll                                   -x² lna = -kx²

k = lna

اذاً :

a^-x² = e^-ln(a)x²


ll               ∫a^-x² dx  = ∫e^-ln(a)x² dx


ll                    = ∫e^-[(sqrt(ln(a))x]² dx

قد يبدو التكامل معقد للوهلة الأولى .. لكن لا تقلق
كل الذى حدث هو اننا بدلنا المتغير x بدالة أخرى وهى sqrt(ln(a))x  ..l


افرض ان : y = sqrt(lna)x  

اشتق الطرفين بالنسبة لـ x ولا تنسى ان a ثابت .

dy = sqrt(lna) dx


dx = dy/sqrt(lna)          ..ll


بالتعويض ...

ll            ∫e^-[(sqrt(ln(a))x]² dx =  1/sqrt(ln(a))∫e^-y² dy

ولكن هذا التكامل هو دالة الخطأ erf بعينها
( لاحظ  ان المتغيرات x و y كلها
عبارة عن رموز اعتباطية ))

ll                                      = sqrt(pi) erf(y)/sqrt(ln(a)) ...ll

put  y  = ln(a) x
 
 ll                               = sqrt(pi) erf(ln(a) x)/sqrt(ln(a))   ..l



sqrt(pi/lna)                 ..l

هذه نتيجة التكامل من من سالب ما لانهايه الى ما لانهايه

مثال ضع a = 3  فإن نتيجة التكامل هى :

sqrt(pi/ln3) ≈ 1.691‏