ما نوع المثلث الذى يتحقق فيه cosA+cosB+cosC=3\2‏ ؟

هناك عدة طرق يمكن ان نتحقق من خلالها على نوعية

المثلث .. أذكر منها قانون جيب التمام، وبتحويل كلاً من
cosA و cosB و cosC  فنحصل على الآتى :

ll  (a²+b²-c²)/2ab +(a²+c²-b²)/2ac + (b²+c²-a²)/2bc =3/2

بضرب الطرفين فى 2abc


ll         c(a²+b²-c²) + b(a²+c²-b²) + a(b²+c²-a²) =3abc

ومنها نحصل على :-


ll     c(a²+b²) + b(a²+c²) + a(b²+c²) =a³+b³+c³+3abc

ca²+cb² + ba²+bc² + ab²+ac² = a³+b³+c³+3abc

بحذف 6abc من الطرفين فنحصل على :
مع توزيعها على الطرف الأيسر هكذا ...


ca²+cb²-2abc + ba²+bc²-2abc + ab²+ac²-abc = a³+b³+c³-3abc


بإكمال المربعات فى الطرف الأيسر مع أخذ العوامل المشتركة ..


c(a-b)²+b(a-c)²+a(b-c)² = a³+b³+c³-3abc

استطيع ان اثبت لك أن :

a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² - ab - bc - ac)     ll

من خلال ذلك نتحقق من أن : -

c(a-b)²+b(a-c)²+a(b-c)² = (a+b+c)(a²+b²+c² - ab - bc - ac)   ..ll


بضرب الطرفين فى 2 ومن ثم نقوم بأكمال المربعات
فى الطرف الأيمن ( كما فعلنا فى الطرف الأيسر )
فنحصل فى  النهاية على :-

ll   2c(a-b)²+2b(a-c)²+2a(b-c)² = (a+b+c)[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]   ll   

الآن اطرح عناصر الطرف الأيمن من الأيسر (اى اجعل المعادلة صفرية)
مع اجراء بعض العمليات الجبرية واخذ العواملة المشتركة فنحصل على :

ll  (a - b - c) ( b - c )² + (b -a - c) ( c - a )² + ( c- a - b) ( a - b )² = 0   ll

ربما تعلم أنه فى اى مثلث فإن مجموع اى ضلعين فيه أكبر من طول الضلع الثالث
وهذا يعنى ان مصدر الصفر فى المعادلة مستحيل يكون من الأقواس التى تتشابه
مع  (a - b - c)  كمثال يعنى .

اذاً مصدر الصفر من الأقواس الثنائية الأخرى ( التربيعية )

وهذا يعنى أن :

b - c = 0   ومنها b = c  

c - a = 0    ومنها c = a

وهذا يكفى ( علاقة تعدى ) نستنتج منها أن :

a = b = c

اذاً المثلث (متساوى الأضلاع)
............................................................................

حل آخر عن طريقة دلتا ( المميز ) فى المعادلة التربيعية

عن طريق التطبيق المباشر للمتطابقة المثلثية :

cosA+cosB = 2cos½(A+B) cos½(A-B)     ..ll

والمتطابقة : cos2x = 1 - 2sin²x

ومنها نحصل على أن : cosC = 1 - 2sin²(C/2)     ..ll

كذلك تذكر متطابقة دوال الجيب وجيب التمام المتممة :

cos(90 - x) = sinx

وايضاً تذكر أن مجموع زوايا المثلث = 180 درجة

A+B+C = 180

A+B = 180 - C

........ إعتبر الذى فات كله مقدمة ........


الآن :  cosA+cosB+cosC=3\2


2cos½(A+B) cos½(A-B) + cosC = 3/2

بضرب الطرفين فى 2

4cos½(A+B) cos½(A-B) + cosC = 3


4cos½(180 - C) cos½(A-B) +2cosC = 3


4cos(90 - C/2) cos½(A-B) +2(1 - 2sin²(C/2)) = 3


4sin(C/2) cos½(A-B) +2 - 4sin²(C/2) = 3


4sin(C/2) cos½(A-B) +2 - 4sin²(C/2) -3 = 0


4sin(C/2) cos½(A-B) - 4sin²(C/2) - 1 = 0

بترتيب الحدود مع ضرب الطرفين فى -1

4sin²(C/2) - 4cos½(A-B) sin(C/2)  + 1 = 0

نعتبر انها معادلة تربيعية فى sin(C/2)      ..ll

وبإيجاد مميز المعادلة، وبما اننا نريد الحلول الحقيقية
فقط اذاً ما تحت الجذر التربيعى أكبر من او يساوى الصفر .

ll           16cos²½(A-B) - 4×4×1 ≥ 0

بقسمة الطرفين على 16

cos²½(A-B) - 1 ≥ 0


cos²½(A-B) ≥ 1        

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين


cos½(A-B) ≥ ±1


cos(½A - ½B) ≥ ±1

لكن انت تعلم ان مدى دالة cos محصور فى الفترة [-1 , 1]

اذاً نأخذ حالة المساواه فقط : cos(½A - ½B) = ±1

اذاً ما داخل الزاوية cos = معكوس جيب التمام لـ 1  وهو 0
والحالة الثانية (سالب واحد ) نجد ان المعكوس هو 180
بالقياس السيتنى ..

اذاً :  ll                    ½A - ½B = 0

ومنها  A - B = 0  ومنها A = B

او  ll                  ½A - ½B = 180  بضرب الطرفين فى 2

A - B = 360   ولكن هذا مستحيل ان يحدث فى أى مثلث

لأن مجموع زوايا المثلث = 180

اذاً نأخذ الحالة الأولى فقط وهى أن A = B

بنفس الطريقة نصنع نفس الخطوات :

cosA+cosB+cosC=3\2‏

ولكن هذه المرة نطبق المتطابقة على cosB+cosC

لينتج لنا أن  B = C

وتلاحظ انها علاقة تعدى وينتج منها أن A=B=C

اذاً المثلث متساوى الأضلاع .

................................................................

حل ثالث : بحيث يمكن وضع A=B=C = 60
تجدها تحقق المعادلة، والآن نريد أن نثبت وحدانيتها .

 cosA+cosB+cosC=3\2‏

ولكن C = 180 - (A+B) ..ll

اذاً : cosC = - cos(A+B)      ...ll

ومنها ينتج أن : cosA+cosB - cos(A+B)=3\2

الآن نفرض دالة فى A , b   بحيث :

f(A,B) = cosA+cosB - cos(A+B)  ..ll

اوجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ A
ثم اوجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ B
ومن ثم مساواة كلاً منهم بالصفر وحلهم
معاً ينتج لنا النقاط الحرجة للدالة .


f'A = sinA + sin(A+B)     ..ll

f'B = -sin(B) + sin(A+B)    ..ll

f'A = f'B = 0  ومنها نحصل على ان :

sinA = sinB = sin(A+B)    ...ll

نأخذ أولاً الحالة sinA = sinB فنحصل منها على

A=B   أو  A = 180 - B وهذا الحل مرفوض لأنه اذا تحقق

يكون A+B = 180  مما يعنى ان الشكل ليس مثلثاً أصلاً
لأن مجموع زوايا المثلث A+B+C = 0  فلا يمكن ان تكون
زاوية منهم بصفر .

ثم نأخذ الحالة الثانية مع الآخذ فى الإعتبار أن A=B

sinA = sin(A+B) = sin2A

فنحصل على انه اما A = 2A  ومنها 1 = 2 مرفوض او A = 0
مرفوض ايضاً .

واما  A = 180 - 2A  ((طبعاً لأن sin موجبة فى الربع الثانى))

ومنها  3A = 180   اذاً  A = 60

مما سبق نتأكد من أنه A=b = 60  نقطة حرجة للدالة

ينتج من خلالها أن A=B=C نقطة حرجة للدالة مما يعنى

او تساوى 3/pi بالقدير الدائرى  .

الآن ندرس ما اذا كانت قيمة عظمى ام صغرى محلية

بحيث اذا كانت المشتقة الجزئية الثانية بالنسبة لـ A
عندما A = B = pi/3  أقل من الصفر ، وكان الشرط

f'aa . fbb - f'ab² < 0  كانت قيمة عظمى محلية


f'aa = -cos(a) + cos(a+b) ...ll
f'bb = -cos(b) + cos(a+b) ...ll
f'ab = cos(a+b)   ...ll

f_aa(pi/3 , pi/3) = -1 < 0

f'aa . fbb - f'ab²  = 3/4  > 0

اذاً النقطة (pi/3  , pi/3) قيمة عظمى محلية .

فى المجال  : ll     (0,pi) × (0,pi)  ..ll

الآن نختبر هل هى قيمة عظمى مطلقة ؟

بحيث نقارنها بنقاط حواف الدالة والنقط الركنية لها .

بحيث تكون النقاط هى :

ll   (0 , B) ..ll    B from 0 to pi

ll   (A , 0)   ll   A  from 0 to pi

ll   (pi ,B)   ll   B  from 0 to pi

ll  (A , pi)   ll   A  from 0 to pi

أولاً نجرب النقاط الركنية ومنها النقطة (0 ، 0)

فى الدالة : f(A,B) = cosA+cosB - cos(A+B)  ..ll


f(0,0) = f(0,pi) = f(pi,0) = 1

f(pi , pi) = -3

 f(0,B) = f(A,0) 1  من اجل ,b , A فى الفترة (0 ، pi)


f(pi,B) = 2cosB - 1 ≤ 1  من أجل B فى الفترة (0 ، pi)

f(ِِA,pi) = 2cosA - 1 ≤ 1 من أجل A فى الفترة (0 ، pi)

فى حين أننا اذا ما عوضنا بالنقطة الحرجة (pi/3 , pi/3)

f (pi/3 , pi/3) = 3/2

اذاً  (pi/3 , pi/3) قيمة عظمى مطلقة للدالة فى
المجال ll     (0,pi) × (0,pi)  ..ll

اذاً : cosA+cosB+cosC=3\2 

اذا واذا فقط  A=B=C = pi/3

او 60 درجة بالقياس الستينى .


اذاً المثلث متساوى الأضلاع .