اوجد sinx و cosx اذا علمت ان 3cosx+4sinx=5
الثلاثاء، 13 مارس 2012
التسميات:
حساب مثلثات
3cos(x) + 4sin(x) = 5
نفرض ان tanx = a
ولكن tanx تساوى المقابل على الجاور (فى مثلث فيثاغورث)
يمكنك رسم المثلث بحيث يكون الضلع المقابل a
والمجاور 1 فيكون طول الوتر = جذر(a² + 1)
sin تساوى المقابل على الوتر
cos تساوى المجاور على الوتر
sinx = a/sqrt(a² + 1) "1"..ll
cosx = 1/sqrt(a² + 1) "2" ..ll
بالتعويض فى المعادلة الأصلية :-
ll 3/sqrt(a²+1) + 4a/sqrt(a²+1) = 5
اصبحت معادلة عادية تحتوى على a فقط .
الآن وحد المقامات ..
ll (4a+3)/sqrt(a²+1) = 5
ll 4a+3 = 5sqrt(a²+1) ..lll
بتربيع الطرفين :
16a² + 24a + 9 = 25a² + 25
25a² - 16a² - 24a + 25 - 9 = 0
9a² - 24a + 16 = 0
نلاحظ ان المقدار ثلاثى مربع كامل .
لأن الحد الأوسط = جذر الأول×الثانى×2
ll (3a - 4)² = 0
ومنها :
3a - 4 = 0
3a = 4
a = 4/3
بالتعويض ..
tanx = a = 4/3
اذاً الضلع المقابل = 4
الضلع المجاور = 3
بإستخدام علاقة فيثاغورث لإيجاد طول الوتر نجده = 5
sinx = المقابل على الوتر
cosx = المجاور على الوتر
sinx = 4/5
cosx = 3/5
...................................................................
حل آخر :-
3cosx+4sinx=5 بقسمة الطرفين على 5
ll 3/5cosx + 4/5sinx = 1
الآن إستعمل المتطابقة cos(x - a) = cosx cosa + sinx sina
ضع cosa = 3/5 و sina = 4/5 بقسمة sin على cos ينتج tan
tana = 4/3 ومنها a = tan^-1(4/3) ..l
يعنى الظل العكسى لـ 4 على 3 .
هذا يعنى أن :
ll cos(x - tan^-1(4/3)) = 1
اذاً : ll x - tan^-1(4/3) = cos^-1(1) ..ll
ولكن الجيب العكسى لـ 1 هو 0 لأن جتا0 = 1
اذاً : ll x - tan^-1(4/3) = 0
ومنها ll x = tan^-1(4/3) ..ll
اذاً : tanx = 4/3
ومن ثم يمكنك رسم مثلث فيثاغورث وتعيين
المقابل بحيث يكون 4 والمجاور يكون 3
ثم عين الوتر = جذر(4² + 3²) = 5
sinx = 4/5 و cosx = 3/5
وبصفة عامة تستطيع أن تحل هذا النوع من
المسائل فى لمح البصر ... كيف ؟
أنظر ال معاملات كلاً من cos و sin و الحد المطلق
لتجد أن مربع 3 + مربع 4 = مربع 5
اذا تحقق هذا الشرط فإن sin
تساوى معاملها على الحد المطلق
و cos تساوى معاملها على الحد المطلق .
نظرية : ( واستطيع ان اثبتها لك )
من أجل a , b , c أعداد حقيقية بحيث :
a cosx + b sinx = c
فإن : cosx = a/c و sinx = b/c
اذا وفقط اذا كان a² + b² = c²
نفرض ان tanx = a
ولكن tanx تساوى المقابل على الجاور (فى مثلث فيثاغورث)
يمكنك رسم المثلث بحيث يكون الضلع المقابل a
والمجاور 1 فيكون طول الوتر = جذر(a² + 1)
sin تساوى المقابل على الوتر
cos تساوى المجاور على الوتر
sinx = a/sqrt(a² + 1) "1"..ll
cosx = 1/sqrt(a² + 1) "2" ..ll
بالتعويض فى المعادلة الأصلية :-
ll 3/sqrt(a²+1) + 4a/sqrt(a²+1) = 5
اصبحت معادلة عادية تحتوى على a فقط .
الآن وحد المقامات ..
ll (4a+3)/sqrt(a²+1) = 5
ll 4a+3 = 5sqrt(a²+1) ..lll
بتربيع الطرفين :
16a² + 24a + 9 = 25a² + 25
25a² - 16a² - 24a + 25 - 9 = 0
9a² - 24a + 16 = 0
نلاحظ ان المقدار ثلاثى مربع كامل .
لأن الحد الأوسط = جذر الأول×الثانى×2
ll (3a - 4)² = 0
ومنها :
3a - 4 = 0
3a = 4
a = 4/3
بالتعويض ..
tanx = a = 4/3
اذاً الضلع المقابل = 4
الضلع المجاور = 3
بإستخدام علاقة فيثاغورث لإيجاد طول الوتر نجده = 5
sinx = المقابل على الوتر
cosx = المجاور على الوتر
sinx = 4/5
cosx = 3/5
...................................................................
حل آخر :-
3cosx+4sinx=5 بقسمة الطرفين على 5
ll 3/5cosx + 4/5sinx = 1
الآن إستعمل المتطابقة cos(x - a) = cosx cosa + sinx sina
ضع cosa = 3/5 و sina = 4/5 بقسمة sin على cos ينتج tan
tana = 4/3 ومنها a = tan^-1(4/3) ..l
يعنى الظل العكسى لـ 4 على 3 .
هذا يعنى أن :
ll cos(x - tan^-1(4/3)) = 1
اذاً : ll x - tan^-1(4/3) = cos^-1(1) ..ll
ولكن الجيب العكسى لـ 1 هو 0 لأن جتا0 = 1
اذاً : ll x - tan^-1(4/3) = 0
ومنها ll x = tan^-1(4/3) ..ll
اذاً : tanx = 4/3
ومن ثم يمكنك رسم مثلث فيثاغورث وتعيين
المقابل بحيث يكون 4 والمجاور يكون 3
ثم عين الوتر = جذر(4² + 3²) = 5
sinx = 4/5 و cosx = 3/5
وبصفة عامة تستطيع أن تحل هذا النوع من
المسائل فى لمح البصر ... كيف ؟
أنظر ال معاملات كلاً من cos و sin و الحد المطلق
لتجد أن مربع 3 + مربع 4 = مربع 5
اذا تحقق هذا الشرط فإن sin
تساوى معاملها على الحد المطلق
و cos تساوى معاملها على الحد المطلق .
نظرية : ( واستطيع ان اثبتها لك )
من أجل a , b , c أعداد حقيقية بحيث :
a cosx + b sinx = c
فإن : cosx = a/c و sinx = b/c
اذا وفقط اذا كان a² + b² = c²
3 التعليقات:
راني ما فهمت والوا
كيف نحل معادلة مثلثية
شكر الله لك مجهود رائع
إرسال تعليق