2 احسب طول القوس الذى طوله وتره 3 ، وطول العمود الساقط من منتصف وتره الى منتصفه = 1

هذا هو القانون العام :

                      س               ط نق
ل = جا^-1 (( ـــــــــــــــــ )) × ــــــــــ    
                     2 نق              90

حيث ل = طول القوس .. ، جا^-1 يعنى الجيب العكسى .

       س² + 4ص²
نق = ـــــــــــــــــــ      ، ط = 3.14   ( النسبة التقريبية )
           8ص

حيث ان : س = طول ( وتر القوس )
ص = طول العمود من منتصف الوتر الى منتصف القوس .
نق هى نصف قطر الدائرة


الآن ضع س = 3    ، ص = 1   تجد ان :

      س² + 4ص²       9 + 4           13
نق = ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = ـــــــــ
           8ص               8               8

                     س             ط نق
ل = جا^-1 (( ـــــــــــــــــ )) * ــــــــــ    
                    2 نق             90

 
                    12              13ط
ل = جا^-1((ـــــــــــــ)) × ــــــــــــــ
                   13               720

على الآلة ( وانت تعلم طريقة ايجاد الجيب العكسى)

ل = 3.822  تقريباً

تابع القراءة

3 اثبات نظرية اقليدس للمثلث القائم الزاوية

لاحظ ان :
:: مساحة المثلث القائم abc
½ حاصل ضرب طولى ضلعى القائمة
وهما ab ، ac 

ايضاً مساحة المثلث القائم = ½ القاعدة × الإرتقاع
من 1 ، 2 ينتج ان :

ac × ab = ah × cb


:::: برهان بقية العلاقات عن طريقة تشابه المثلثات
انظر الشكل فى المراجع:::::::

حيث ان المثلث ahb يشابه المثلث cab
من خلال التشابه ينتج ان :

 ab/hb = cb/ab

حاصل ضرب الطرفين = حاصل شرب الوسطين
وينتج ان :

ab² = bh × bc

بنفس الطريقة المثلث ahc يتشابه مع المثلث bac
ومن التشابه ينتجه ان :

  ac/hc = bc/ac

ac² = ch × cb


ملحوظة هناك عدة اثباتات لهذه القاعدة، ممكن تثبتها ايضاً
بمبرهنة فيثاغورث، لكنى أخترت اسهلهما .

تابع القراءة

13 طريقة جاوس جوردان لحل المصفوفات

ليكن :

4س - 3ص + 3ع = 1
 س + ص + ع = 5
-2س -3ص + ع = 7

ـــــــــــ هناك طريقة لحلها بطريقة كرامر،
 وايضاً بطريقة الحذف لجاوس والتى نحن بصددها ـــــــــــ

ضع معاملات الحدود فى مصفوفة ثم افصل بينهما بخط
واكتب مصفوفة الثوابت .. واستعمل العمليات على الصفوف
  row operation

  4    -3     3    |  1
  1     1     1    |  5
 -2    -3     1    |  7

اظن ليس هناك عصوبة فى ذلك :
لاحظ :

الصف الأول هو :   4    -3     3 
الصف الثانى هو:   1     1     1
الصف الثالث هو :  -2    -3     1

الثوابت هى :   1  ،  5   ، 7

الآن ماذا لو عدلنا من ترتيب الصفوف هل يحدث شىء ؟
اطلاقاً لا يحدث شىء .. مثل


  1    1      1    |  5
  4   -3     3     |  1
 -2    -3     1    |  7

حاول ان تجعل من ضرب ، وجمع المصفوفات خلايا صفرية

...................................................................
مثال 1)  حل هذا النظام بطريقة جاوس جوردان .

س - 2ص + 3ع = 7

2س + ص + ع  = 4

-3س + 2ص -2ع = -10

الآن نضع معاملات المتغيرات س ، ص ، ع فى مصفوفة
ومن ثم نمد خط فاصل ونكتب مصفوفة الثوابت .

 1    -2     3    |  7
 2     1     1    |  4
-3    2     -2    | -10

لاحظ _ سنرمز :
للصف الأول بالرمز ص1
والصف الثانى بالرمز ص2
والصف الثالث بالرمز ص3
...............................
وهنا قبل ان نبدأ فى شرح المثال نفترض انك اجريت
العمليات على مصفوفة ما ( غير هذه ) ثم اتخذت
هذا الشكل ::

 1     0    0     |  -8
 0     1    0     |  14
 0     0    1     |  3

لان لاحظ ( الواحدات ) تشكر قطر
وهذا معناه ان :

س = -8
ص = 14
ع = 3

بالعدوة الى مثالنا أعلاه .. [الحـــــــــــــــل]

 1    -2     3    |  7
 2     1     1    |  4
-3    2     -2    | -10

الآن فكر فى طريقة نجعل بها صف من صفوف
هذه المصفوفة تحتوى على صفر او صفرين
بحيث نستطيع ان نستنتج مجهول من الثلاث مجاهيل .
(( لاحظ فكر اولاً ولا تتسرع فى الكتابة ))

على اى حال اقترح عليك الآتى :

-2ص1 + ص2 ← ص2

اعنى بهذا : اضرب الصف الأول فى -2 واجمعه
 على الصف الثانى، وناتج الجمع ضعه فى الصف الثانى .
لتجد المصفوفة اصبحت بهذا الشكل :

 1    -2     3    |  7
 0     5    -5    | -10
-3    2     -2    | -10

لاحظ : اجعل نصب عينك على الهدف وهو جعل
المصفوفة تأخذ هذا الشكل :

 1  0  0
 0  1  0
 0  0  1

وتسمى هذه المصفوفة احياناًً بالقطرية .

الآن : 3ص1 + ص3 ← ص3

يعنى اضرب عناصر الصف الأول فى 3 واجمع عليه
عناصر الصف الثالث ، وناتج هذه العملية ضعه فى الصف
الثالث .. لتأخذ بعدها المصفوفة هذا الشكل :

 1    -2     3    |  7
 0     5    -5    | -10
 0    -4     7    | 11

(1\5)ص2 ← ص2 

يعنى اقسم الصف الثانى على 5

 1    -2     3    |  7
 0     1     -1   | -2
 0    -4     7    | 11

2ص2 + ص1 ←  ص1

اضرب الصف الثانى فى 2 واجمعه على الصف الأول
والصف الناتج عن الجمع ضعه فى الصف الأول .
(( لاحظ كل هذا يأتى بعد تفكيرك انت، وتستطيع ان
تحلها بطريقة مختلفة عن شخص الآخر ، فلا تلزم نفسك
بإتباع طريقة واحدة واسلوب واحد )) .. فقط ليكن الهدف هو
جعل المصفوفة على هذا الشكل :
 1  0  0
 0  1  0
 0  0  1

لنكمل ..

2ص2 + ص1 ←  ص1

 1     0      1   |  3
 0     1     -1   | -2
 0    -4     7    | 11

4ص2 + ص3 ← ص3

 1     0      1   |  3
 0     1     -1   | -2
 0     0     3    |  3


(1\3)ص3 ←  ص3

 1     0      1   |  3
 0     1     -1   | -2
 0     0      1   |  1

-3ص3 + ص1 ← ص1

 1     0      0   |  2
 0     1     -1   | -2
 0     0      1   |  1

ص3 + ص2 ← ص2

 1     0      0   |  2
 0     1      0   | -1
 0     0      1   |  1

الى هنا انتهت المسألة :

س = 2
ص = -1
 ع = 1

تستطلع ان تتحقق من هذه القيم بالتعويض فى
المعادلات الأصلية لهذه المصفوفة وهى :

س - 2ص + 3ع = 7

2س + ص + ع  = 4

-3س + 2ص -2ع = -10


ملحوظة أخيرة : احياناً يكون من الصعب جداً وضع
بل من المستحيل وضع المصفوفة على شكل مصفوفة
قطرية، لذلك ليس لمثل هذه المصفوفات حل، او لها عدد
لان نهائى من الحلول  وتستطيع ان تتعرف على هذا قبل
اجراء العمليات على المصفوفات بإختبار محدد المصفوفة :
اذا كان صفراً فهذا يدل على وجود تجانس فى المعادلات
ولا يمكن حلهم معاً، اما اذا كانت غير ذلك فللمعادلة
حل ان شاء الله :)


بالنسبة لمثالثنا فمحدد المصفوفة هو :


 1    -2     3   
 2     1     1  
-3    2     -2 


= 1(-4) + 2(-4 + 3) + 3(4+3) = 15

تابع القراءة

1 اوجد a , b التى تحقق ان تكون للدالة f(x) قيمة قصوى عند x = 3 هى 1

إذا كانت f(x) = ax+b\x^2-1 والدالة لها قيمة قصوى محليه = 1 عند x=3
اوجد قيمة الثابتين a,b

مشتقة البسط = a
مشتقة المقام = 2X

ثم طبق قاعدة حصل القسمة :

مشتقة البسط×المقام - مشتقة المقام×البسط
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  مربع المقام

f'(x) = [a(x^2-1) - 2x(ax+b)]/(x^2-1)²

ساوى المشتقة بصفر ينتج لك ان البسط= 0
لكن لاحظ ان مجال الدالة ح فرق اصفار المقام
يعنى مجال الدالة = R - موجب او سالب 1

a(x^2-1) - 2x(ax+b) = 0

الآن ضع X = 3  ينتج لك

8a - 6(3x+b) = 0            ,.... 1

هذه معادلة (1)

ومن ثم عوض فى الدالة الأصلية اوجد f(3)
والتى تساوى 1 كما ذرك لك .

f(3) = 1 = (3a+b)/8

3a+b = 8            .....2

حل معادلة (1) مع معادلة (2) ينتج لك الثابتين a , b‏

....................................................................


3a+b = 8            .....2

بضرب الطرفين فى -3

-9a - 3b = -24               ..(2)

5a+3b = 0                  ...(1)

بجمع (1) ، (2)

-4a = -24

a = 6

بالتعويض فى  2

18+b = 8

b = -10‏

بعد التعويض نجد ان الدالة الأصلية اصبحت f(x) = (6x-10)/(x² -1)       ..l

تابع القراءة

2 حل المعادلة لوس + لو(س+1) = 5 .. الأول للأساس 2 ، والثانى للأساس 3

لوس + لو(س+1) = 5
2         3

تستطيع ان تقترب من الحل بتجربة عدة حلول
ومن ثم لو وضعت س = 8  تجدها تحقق المعادلة .

لوس + لو(س+1) = 5
2         3

لو2 لو(س+1) + لو3 لو(س) = 5 لو2 لو3

لو(س+1)^لو2 + لو(س)^لو3 = 5 لو2 لو3

لو[(س+1)^لو2 × (س)^لو3 ] = لو32 لو3

(س+1)^لو2 × (س)^لو3 = 10^(لو32 لو3)

هذا حل ان استطعت الوصول اليه فأخبرنى به .
.........................................................

وهذا حل آخر اجتهدت فيه .. نفرض ان

لوس + لو(س+1) = 5
2         3

لوس + لو(س+1) = 2 + 3
2         3

لوس + لو(س+1) = لو4 + لو27
2         3               2      3


لو(س/4) + لو[(س+1)/27] = 0
2              3


لو(س/4) = لو[27/(س+1)]
2              3


لو3 لو(س/4) = لو2 لو[27/(س+1)]


 لو[27/(س+1)]
ــــــــــــــــــــــــــ = لو3
   لو(س/4)            2


لــــــــو[27/(س+1)] = لو3
 (س/4)                   2


اذاً الدليل = الدليل ، والأساس = الأساس

[27/(س+1)] = 3   او  (س/4)  = 2


                   27
الأولى  : ــــــــــــــــــــــــ = 3
                 س+1


ومنها  3(س+1) = 27  اذاً س+1 = 9

ومنها س = 8

             س
الثانية : ـــــــــــــ = 2   ومنها س = 8
              4


س = {8}

تابع القراءة

0 عددان مجموع مقلوبيهما يساوي -1 ومجموع مكعبيهما يساوي 4 أوجد العددين

س + ص = -س ص         (1)

س³ + ص³ = 4             (2)
.........................................
نفرض ان : 
س = أ+جذر(ب)  ، ص = أ - جذر(ب)

بالتعويض فى (1) ، (2) ::

2أ = - (أ² - ب)

2أ = -أ² + ب ، ومنها ب = أ² + 2أ    (3)

(أ+جذر(ب))³ + (أ-جذر(ب))³ = 4

2أ³ + 6أب = 4   ومنها  أ³ + 3أب = 2

ولكن ب = أ² + 2أ   .. بالتعويض ..

أ³ + 3أ(أ² + 2أ) = 2

أ³ + 3أ³ + 6أ² - 2 = 0

4أ³ + 6أ² - 2 = 0

2أ³ + 3أ² - 1 = 0

بإضافة 2 وحذف 2

2أ³+2 + 3أ² - 3 = 0

2(أ+1)(أ²-أ+1) + 3(أ² - 1) = 0

2(أ+1)(أ²-أ+1) + 3(أ+1)(أ-1) = 0

(أ+1)(2أ²-2أ+2+3أ-3) = 0

(أ+1)(2أ² + أ - 1) = 0

(أ+1) (2أ - 1) (أ+1) = 0

(أ+ب)² (2أ - 1) = 0

ومنها أ = {-1 ، ½}  بالتعويض فى (1)

ب = أ² + 2أ    فنجد ان :

عندما أ = -1     فإن  ب = -1
عندما أ = ½     فإن ب = 5\4

الآن نوجد س ، ص عندما أ=ب = -1

فنجد انها تعطى حلول تخيلية .

س = -1+ت      ،  ص = -1 - ت

الآن نوجد س ، ص عندما  أ=½  ، ب=5\4

فنجد انها تعطى حلول حقيقية .

س = ½+جذر(5\4)    ، ص = ½ - جذر(5\4)

تابع القراءة

11 اوجد قانون عام لحساب عدد مثلثات اى مثلث من هذا النوع

مجموع المثلثات عبارة عن مجموع متتابعتين حسابيتين .
الأولى : تعبر عن عدد المثلثات المعدولة .
الثانية : تعبر عن عدد المثلثات المقلوبة .

الآولى =  4 + 3 + 2 + 1

الثانية = 3 + 2 + 1

مجموع مثلثات المثلث = مجموع المتتابعتين معاً .


=   4 + 3 + 2 + 1   +   3 + 2 + 1

الآن نجمع الحدود المتشابهة فنلاحظ ان :

3 + 2 + 1   مكررة مرتين .. اذاً


=  4  + 2(1 + 2 + 3)  = 16 مثلث .

نستطيع ان نقول ان 4 = عدد المثلثات المعدولة فى القاعدة .
فنلاحظ دائماً ان عدد المثلثات المقلوبة فى القاعدة اقبل منها بواحد .

الآن نفرض فى مثلث ما ان عدد المثلثات المقلوبة فى القاعدة = ن مثلث
فيكون بذلك عدد المثلثات المعدولة = (ن+1)  مثلث

فنجد ان عدد مثلثات اى مثلث :


= (ن+1) + 2(مجموع متتابعة حسابية من 1 الى ن)

ملحوظة كما هو ملاحظ ان المتتابعة اساسها = 1

                ن(ن+1)
مجـ(ن) = ــــــــــــــــــــــ
                    2

اذاً القانون العام اصبح :

                     ن(ن+1)
= (ن+1) + 2×ــــــــــــــــــــــ
                         2


= (ن+1) + ن(ن+1)    بأخذ (ن+1) عامل مشترك .


= (ن+1)(ن+1)  = (ن+1)²


الإستنتاج : القانون العام لحساب عدد مثلثات اى مثلث
من هذا النوع :

= (ن+1)²   

حيث  ن = عدد المثلثات المقلوبة فى القاعدة .


مثال : بالنسبة للشكل فى الصورة فإن عدد المثلثات المقلوبة
فى القاعدة = 3

اذاً عدد جميع المثلثات = (3 + 1)² = (4)² = 16 مثلث

هناك ايضاً مطلوب آخر وهو ايجاد القانون العام لحساب المثلثات المنفردة السابقة
+ المثلثات المتداخلة با فيها المثلث الرئيسى .

تكملة للسؤال : اوجدنا قانون عام لعدد المثلثات المنفردة
وهو عدد المثلثات المنفردة = (ن+1)²
حيث ن = عدد المثلثات المنفردة المقلوبة فى القاعدة فقط .
مع تطلع المثلثات المتداخلة نجد ان القاعدة لها ثلاث مثلثات
متداخلة بينما القاعدة التى تليها لها مثلثين متداخلين، ثم
القاعدة التى فى أعلى المثلث لها مثلث واحد فقط ، واخيرا
المثلث نفسه يعتبر ضمن العد .

فنجد ان عدد المثلثات المتداخلة =

1  + 1 + 2 + 3

حيث 1 هو المثلث الرئيسى ، 1 ، 2 ، 3 باقى المثلثات المتداخلة .
اذاً عدد المثلثات المتداخلة (بدون المثلث الرئيسى ) عبارة عن
مجموع متتابعة حسابية حدها الأول = 1  ، اساسها = 1
حدها الأخير = عدد الحدود = 3 .
اذاً العلاقة التى تعين المثلثات المتداخلة بما فيهم المثلث الأساسى .

                ن(ن+1)
مجـ(ن) = ـــــــــــــــــــــــ + 1
                    2

الآن نقوم بجمعها مع العلاقة التى استنتجناها سابقاً ..


 ن(ن+1)
ــــــــــــــــــــ + (ن+1)² + 1
     2

    2(ن+1)² + ن(ن+1)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1
              2

وهذا هو القانون العام الذى يحدد عدد المثلثات المكونة للمثلث
بما فيهم المثلثات المتداخلة، والمثلث الرئيسى ايضاً بدلالة
عدد المثلثات المقلوبة فى القاعدة ( المثلثات المنفردة )

بالنسبة لمثالنا فإننا نضع  ن = 3   فى العلاقة السابقة .


    2(3+1)² + 3(3+1)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1  = 23 مثلث
              2

ملحوظة نستطيع تبسيط القانون هكذا .. بتوحيد المقام واخد عامل مشترك ::



2(ن+1)² + ن(ن+1)  + 2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
              2


    (ن+1)(2ن+2+ن) + 2          (ن+1)(3ن+2) +2
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    
                 2                                 2

ويمكن ايضاً وضعه فى صورة أخرى بدلالة المثلثات الغير مقلوبة فى القاعدة
عن طريق تحويل ن+1  الى ن

    ن (3ن - 1) + 2    
= ـــــــــــــــــــــــــــ     فعند وضعك ن = 4  تحصل على المطلوب               

            2     

لكل ان تستخدم ما يحلو لك، ولو انى ارى ايجاد المثلثات عن طريق عدد
المثلثات المعتدلة فى القاعدة يكون افضل  ...                

♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
ايجاد جميع المثلثات المتضمنة فى الشكل
------------------------------------------------------

ليكن ن = عدد المثلثات المعدولة فى القاعدة، وهى مثلاً
فى مثالنا هنا 4 .

فنجد عدد جميع المثلثات  (العادية او المعدولة)
تتخذ هذا الشكل المدرج

1 + 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3
1 + 2
1

= 20

نضيف اليهم عدد المثلثات المقلوبة (المستقلة) = 6
ومن ثم نضيف المثلث المقلوب الذى يتوسط المثلث الكبير
فيتكون لدينا 20 + 6 + 1 = 27

وفى هذا السؤال سأضع ن = عدد المثلثات الغير مقلوبة فى القاعدة .

لذلك اعتقد اننا سنصنع الآتى ...

ليكن ن = عدد المثلثات المعدولة (فى القاعدة)

أولاً حساب المثلثات المعدولة ..

1 + 2 + 3 + .... + ن
1 + 2 + 3 + .... + (ن-1)
1 + 2 + 3 + .... + (ن-2)
.
.
1

= 1(ن) + 2(ن-1) + 3(ن-2) + ... + ن(ن - (ن-1))

= ن + 2ن + 3ن + ... + ن² - [2(1) + 3(2) + 4(3) + 5(4) + ... + ن(ن-1)]

                                            1×2       2×3       4×5              ن(ن-1)
= ن(1 + 2 + 3 + .... + ن) - 2[ ــــــــــــ + ـــــــــ + ـــــــــــ + .... + ـــــــــــ]
                                              2          2           2                   2


    ن²(ن+1)             1×2       2×3       4×5             ن(ن-1)
= ــــــــــــــــــــ - 2[ ــــــــــــ + ـــــــــ + ـــــــــــ + .... + ـــــــــــ]
         2                    2          2           2                   2

وكما نلاحظ فإن ما داخل [  ] عبارة عن مجموع المتتابعات التى نريدها بالاساس
منقوص منها متتابعة المثلثات (الغير مقلوبة)

                                                  ن(ن+1)
عدد المثلثات الغير مقلوبة (المستقلة) = ـــــــــــــــ
                                                      2

لكن عدد جميع المثلثات (الغير مقلوبة) = س    ... اذاً

         ن²(ن+1)                  ن(ن+1)
س = ــــــــــــــــــــ - 2 [س - ــــــــــــــــ ]
              2                           2

لتسهيل الحساب نضع المجموع 1 + 2 + ... + ن = ك

س = ن ك - 2(س - ك)  ومنها س = ن ك - 2س + 2ك

اى ان : 3س = ن ك + 2ك  ومنها  3س = (ن+2) × ك

         (ن+2) × ك
س = ــــــــــــــــــــ       بالتعويض عن قيمة ك ...
               3

          (ن+2)          ن(ن+1)       ن(ن+1)(ن+2)
س = ــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = ق[(ن+2) ، 3]
             3                 2                    6

ثانياً ايجاد عدد المثلثات المقلوبة، والتى من غير المناسب ملاحظتها
فى مثالنا فقط (مع التعميم) فلكى تفهم ما هو مكتوب لابد ان ترسم
مثلث آخر اكبر من هذا، وبالتأكيد يحتوى على مثلثات أكثر .. ولن اخوص
فى تفاصيل عدد المثلثات فما اكتبه غير  مفيد لك الا اذا جربت بنفسك
ذلك .. ولهذا توصلت الى ان عدد جميع المثلثات المقلوبة فى حالة
كانت ن = عدد فردى تتعين من خلال القانون


     (ن-1)(ن+1) (2ن+3)
 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ              ***
               24

وبجمع جميع المثلثات نكون بذلك قد حصلنا على المجموع الكلى ...



     (ن-1)(ن+1) (2ن+3)         4ن(ن+1)(ن+2)      (ن+1)[(ن-1)(2ن+3) + 4ن(ن+2)]
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   + ـــــــــــــــــــــــــــــ  = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    
               24                            24                                   24


   (ن+1)[2ن² + ن - 3 + 4ن² + 8ن]       (ن+1)(6ن² + 9ن - 3)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       24                                        24

     (ن+1)(2ن² + 3ن - 1)        2ن³ + 3ن² - ن + 2ن² + 3ن - 1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               8                                          8

      2ن³ + 5ن² + 2ن - 1
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               8

فى حالة ن عدد فردى

ولكن لوحظ انه فى حالة ن عدد زوجى فإن اللقانون يختلف فيكون ..

     2ن³ + 5ن² + 2ن
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ
              8

حيث ن = عدد جميع المثلثات المعتدلة (فى القاعدة)

تابع القراءة

0 find ∫ 1/sqrt[x^2-0.01].dx

put x = 0.1 sec(t)

then dx = 0.1sec(t).tan(t) dt .. by substitution

∫0.1/sqrt(0.01sec²(t) - 0.01) sec(t).tan(t) dt

= ∫0.1/0.1sqrt(sec²(t) - 1) sec(t).tan(t) dt

=  ∫1/sqrt(sec²(t) - 1)  sec(t).tan(t) dt

= ∫ sec(t).tan(t)/tan(t) dt

= ∫sec(t) dt

= ln|sec(t) + tan(t)| + C

but X = 0.1sec(t) 

sec(t) = 10X

tan(t) = sqrt(sec²(t) - 1)

= sqrt(100X² - 1)

therefore ∫1/sqrt(x^2-0.01)dx 

= ln|10X + sqrt(100X² - 1) | + C‏‏

وهناك حل آخر عن طريق الدوال الزائدية العكسية وهو اسهل بكثير من السابق :

حيث ان :    ∫1/sqrt(x² - a²) dx  = arccosh(x/a) + C
∫1/sqrt(x² - 0.01) dx  = arccosh(10x) + C               

تابع القراءة

0 عين قيمة أ التى تجعل المتتابعة مرة حسابية، ومرة أخرى هندسية ثم اوجد اساس كلاً منهما ؟

لتكن ح(ن) معرفة بـ   ح(0) = -1     ،  ح(ن+1) = أح(ن) + (أ+2)

1 - عين قيمة أ التى تجعل ح(ن) متتابعة حسابية ثم عين اساسها .

2 - عين قيمة أ التى تجعل ح(ن) متتابعة هندسية ثم عين اساسها .

ح(0) = -1

ح(ن+1) = أح(ن) + (أ+2)

بوضع ن = 0 للطرفين

ح(1) = أ ح(0) + (ا+2)

خ(1) = -أ + أ + 2  = 2

بنفس الأسلوب لإيجاد ح(2) ، ح(3)

ضع ن = 1 للطرفين

ح(2) = أ ح(1) + أ+2

    = 3أ + 2

هكذا :: ضع ن = 2  للطرفين ينتج ان :

ح(3) = 3أ² + 3أ + 2

الآن لتكون هذه متتابعة حسابية يجب ان يكون
الحد فرق الحد السابق له = ثابت .

ح(2) - ح(1) = ح(3) - ح(2)

3أ+2-2 = 3أ² + 3أ + 2 - 3أ - 2

ومنها أ = أ²  اذاً أ² - أ = 0   ومنها أ(أ-1) = 0

اما أ = 0          او   أ = 1

ولكن أ = 0  تجعلها متتابعة حاسبية ثابت

عبارة عن {2 ، 2 ، 2 ، 2 ، 2 ، .......}

على اى حال :

أ = {0 ، 1}

بالتعويض نجد ان :

ح(ن+1) - ح(ن) = 3

اذاً الثابت هو اساس المتتابعة = 3
...............................................................
تكملة ايضاً للسؤال : عين قيمة أ لتكون متتابعة هندسية .

ح(1) = 2    
ح(2) = 3أ+2
ح(3) = 3أ²+3أ+2

لكى تكون متتابعة هندسية اذاً بقسمة الحد على
السابق له = ثابت       ...  يعنى

 ح(2)           ح(3)
ــــــــــــــ = ـــــــــــــــ
 ح(1)           ح(2)


[ح(2)]² = ح(1) × ح(3)


9أ²+12أ+4 = 6أ²+6أ+4

9أ²+12أ = 6أ²+6أ

3أ² + 6أ = 0

أ² +2أ = 0

أ(أ+2) = 0

اما أ = 0  او أ = -2

أ = {0 ، -2}

ممكن نتخلى عن الحل التافة أ = 0  ، ونأخذ أ =-2

بالتعويض فى الحد العام عند أ = -2 نجد ان :

ح(ن+1) =  -2ح(ن)    بقسمة الطرفين على ح(ن)


 ح(ن+1)
ــــــــــــــــــــ = -2
   ح(ن)

اذاً الأساس هو -2  

       

تابع القراءة

1 لماذا مالانهاية على مالانهاية كمية غير معينة ؟

.   ∞
  ــــــــــ     كمية غير معينة
    ∞

مثلها مثل الصفر تماماً
قد تكون ∞/∞ = 1   او   0   او ∞  او اى عدد آخر

لماذا ؟

لأن مالانهاية هنا   تعبير مجازى على ان عدد ما لانهاية له
ولكن هناك لانهاية اكبر من لا نهاية أخرى .. كيف ؟

لنضرب مثال واقعى من الطبيعة : لنفرض تجربة
ما على سرعة كلاً من الضوء وسرعة الصوت من
نقطة بدء واحدة وينطلقاً مع الى لا نهاية .. هل
لانهاية سرعة الضوء تساوى لا نهاية سرعة الصوت ؟

بالتأكيد ستكون الإجابة بالنفى اذاً هناك مفارقة
بين لانهاية وأخرى :: مثال لتكن مجموعتين أ ، ب
بحيث ب هى مربع أ   يعنى ..

أ = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، .......}

ب ={1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، .......}

ما رأيك فى سرعة ب  هل هى نفسها سرعة أ  ؟؟
على الرغم من نقطة البدء لهم واحدة .. اذاً وبلا شك
وإن كان هناك نهاية ( او نقطة نريد االتوقف عنها )
فإنه ومن المستحيل ان تتلاقى كلاً من مجموعة أ
ومجموعة ب فى نقطة واحدة ( آ نيا ) يعنى فى نفس
اللحظة .

                            س² + 1
مثال :   نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــ
          س ←∞           س

بعد التعويض تجد الناتج ∞/∞ ولكن ∞/∞ كمية
غير معينة ... الآن بتوزيع البسط على المقام


                 س²                      1
= نهــــــــا ـــــــــــــ +  نهــــــــا ــــــــــــ
   س ←∞    س        س ←∞    س


النهاية الأولى = ∞ لأن درجة البسط اكبر من درجة المقام
او تستطيع اختصار البسط مع المقام لينتج لك س ومن
ثم التعويض المباشر .. اما بالنسبة للنهاية الثانية فهى 0
لأن 1 على ∞  هو عدد يكاد يكون معدوم او يؤول الى الصفر .
فتخيل مثلاً  واحد يتم تقسيمة الى عدد لا نهائى من الإجزاء
اذاً كل جزء منها يؤول الى الصفر .

اذاً النهاية السابقة = ∞

فى حين ان فى نهاية أخرى قد لا تكون كذلك :


مثال " 2 "

                   5س+ 1
نهـــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــ
 س ←∞          س

بعد التعويض بـ س = ∞  نجد انها تعطى
كمية غير معينة ∞/∞

(لاحظ ان ∞ ليس عدد حقيقى )

الآن بتوزيع البسط على المقام ..


  5س          1
ـــــــــــــ + ــــــــــ
  س           س

             1
= 5 + ــــــــــ  =  5 + صفر   =  5
           س

تابع القراءة

1 اوجد حجم متوازى المستطيلات الذى مساحة اوجهه 40 ، 45 ، 72

نفرض ان الطول والعرض والإرتفاع س ، ص ، ع
على التوالى ::

حجمه = س × ص × ع

او مساحة القاعدة فى الإرتفاع

نفرض ان مساحة القاعدة = س×ص = 72     (1)

بقى ايجاد الإرتفاع ..

الآن مساحة الوجة الأول = 45 سم²

والذى = س × ع = 45      (2)

بنفس الطريقة نجد ان : ص × ع = 40    (3)

بقسمة (2) على (3)

  س    
ـــــــــــ = 1.125                (4)
  ص


ومنها  س = 1.125 ص  بالتعويض فى (1)

1.125 ص² = 72  بقسمة الطرفين على 1.125

ص² = 64   ومنها ص = 8

بالتعويض فى (3)

8ع = 40   ومنها ع = 5

الحجم = س × ص × ع = 72×5 = 360 سم³

►نشر ايضاً الى انه يمكن حلها بواسطة تحليل الأعداد الثلاثة◄

40 = 5 × (2)³
45 = 5 × (3)²
72 = (2)³ × (3)²

الآن خذ جميع عوامل هذه الأعداد مثنى مثنى ليكون الطول والعرض والإرتفاع
على التوالى هم  5  ، (2)³  ، (3)²  او  5  ،  8  ، 9

الحجم = 5 × 8 × 9 = 360 سم³

... شرح الحل السابق ...

ان كل وجه
يحمل ثلاثة احتمالات كلا منها مثنى

 3ق2 = 3

اما ان يكون : س×ص  او س×ع  او ص×ع

فإذا لم نستطع وضعهم مثنى مثنى فإن هناك
حلول قد تكون كسرية او غير نسبية .

40 = 5 × (2)³
45 = 5 × (3)²
72 = (2)³ × (3)²

وبأخذ عوامل الأعداد مثنى مثنى يتبين لنا ان :
الطول والعرض والإرتفاع على التوالى 5 ، (2)³ ، (3)²

او   :  5  ،  8   ،  9

اذاً الحجم = 5 × 8 × 9 = 360 سم³


وكما نلاحظ ان هذه الطريقة صالحة فقط فى حالة
اذا كانت قياس ابعاد الشكل تنتمى لمجموعة الأعداد
 الطبيعية على حسب المبرهنة الأساسية فى الحساب .

تابع القراءة

2 اوجد باقى قسمة د(س) على (س² - س - 2) اذا علمت ان ..

السؤال : اذا كان باقى قسمة د(س) على (س-2)
هو 19 وكان باقى قسمة د(س) على (س+1) هو -5
فما هو باقى قسمة د(س) على س² - س - 2  ؟

ملحوظة : د(س) = س³ + 5س + 1

الإجابة : نحلل اولاً : س² - س - 2 = (س-2)(س+1)
الآن عند قسمة حدودية من الدرجة الثالثة على حدودية
من الدرجة الثانية فإنه وان وجد باقى للقسمة فإنه يكون
من الدرجة الأولى .

ولكن القاعدة هى ان :

المقسوم = المقسوم عليه×(خارج القسمة) + الباقى

نفرض ان خارج القسمة دالة فى س ونرمز لها بالرمز هـ(س)
وان باقى القسمة معادلة من الدرجة الأولى ::::
وهو : أس + جـ  ( الصورة العامة لمعادلة الخط الخط المستقيم)
حيث كلاً من أ ، جـ ثوابت .. الآن نعيد تعريف د(س)
ملحوظة : د(س) هنا هى المقسوم .

د(س) = (س²-س-2)×هـ(س) + أس+جـ

د(2) = (4-2-2)×هـ(س) + 2أ+جـ = 19

ومنها  2أ+جـ = 19       ..(1)

د(-1) = (1+1-2)×هـ(س) - أ+جـ = -5

ومنها :  -أ+جـ = -5         ..(2)

بحل (1) ، (2) آنياً ينتج المطلوب ، بعد ضرب
معادلة (2) فى 2

2أ+جـ = 19       ..(1)

-2أ+2جـ = -10       ..(2)
ــــــــــــــ بالجمع ـــــــــــــــــ

3جـ = 9   ومنها جـ = 3

بالتعويض فى معادلة (2)

-أ+جـ = -5         ..(2)

-أ + 3 = -5   ومنها أ = 8

اذاً باقى قسمة د(س) على س² - س - 2

= 8س + 3


ملحوظة : كان يمكن حلها بسهولة بالقسمة المطولة بدون حتى
وجود مثل هذه المعطيات فى السؤال .. كلآتى :-

نفرض وجود ثابت أ بحيث س³ + 5س + (1 - أ) يقبل القسمة
على س² - س - 2   ويكون الحل بسيط جداً كالآتى :-

  س + 1
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  س³ + 5س + (1 - أ)          |   س² - س - 2                               
                                       ــــــــــــــــــــــــــــ
س³ - س² - 2س
ــــــــــ بالطرح ــــــــــــــ
س² + 7س + (1 - أ)
س² - س - 2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الى هذا الحد ونقف ثم نسأل متى يكون باقى القسمة = 0  ؟
الإجابة عندما : 7س + (1 - أ ) = - س - 2 
الآن نوجد أ بدلالة س ينتج الباقى المطلوب .

1 - أ = -8س - 2   ومنها  - أ = -8س - 3   بضرب الطرفين فى -1

أ = 8س + 3     

تابع القراءة

4 عدد قواسم عدد طبيعى

مثال : قواسم(12) = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12} = 6 قواسم

قواسم (7) = {1 ، 7} = 2 قاسم

◄◄وبما ان العدد الأولى يقبل القسمة على نفسه والواحد .. اذاً عدد قواسم اى
عدد اولى أ   =  2  ►►

نرمز لهذه الدالة ( دالة عدد قواسم عدد طبيعى بالرمز ت مثلاُ )

ت(12) = 6   ،  ت(أ) = 2  لكل أ عدد اولى .. وهكذا


مثال1) اوجد ت(8)      نحلل 8 = (2)³  ا

هيا نفكر :  اذاً قواسم 8 = { 2^0 ، 2^1 ، 2^2 ، 2^3} = 4 قواسم
هنا شىء يحدث بنظام ونسق رياضى معين ؟؟ وهو ان اى عدد
طبيعى عندما نحلله يعطى الصورة أ^ن   حيث ن عدد طبيعى
فإن عدد قواسمه = ن+1   (( جربها على اى عدد على هذا السؤال أ^ن ))

ففى مثالنا  ت(8) = 4      ..  لماذا ؟؟  لأن  8=(2)³ 

عدد قواسمها =  ( الأس + 1 )  =  ( 3 + 1 ) = 4


◄◄◄  مبرهنة .. دالة ت  دالة ضربية ◄◄◄

لاحظ معى : ت(1) = 1  ،  ت(12) = 6     لماذا ؟؟

خطوات ايجاد ت(12) 

12 = (2)² × (3)¹

اذاً  ت(12) = (2+1)(1+1) = (3)(2) = 6


مثال2)  اوجد عدد قواسم العدد  128


                      الحـــــــــــــــــــــــــــــــل


ت(128) = ت[ (2)⁷ ] = (7+1) = 8

مثال 3) اوجد عدد قواسم العدد 175

175 = 5 × 35  =  5 × 5 × 7 = (5)² × 7

اذاً : عدد قواسم العدد 175 = ت(175) = ت [ (5)² × 7 ] = (2+1)(1+1) = 6

تابع القراءة

38 شرح طرق التحليل الأساسية فى الرياضيات

على سبيل المثال .. فأن الفرق بين مجموع مكعبين:
س³ - ص³ = (س-ص)(س²+س ص+ص²)

انا اصف المربع الكامل، وفرق المربعين بزعماء التحليل
لماذا ؟؟ .. لكى تفهم كيف تم تحليل فرق المكعبين بهذه
الطريقة يجب اولاً ان تفهم كيف تم تحليل فرق المربعين
لن اخود فى الطريقة كثيراً، لكننى سأركز على المثال
الذى ذكرته، يوجد شىء فى الرياضيات يسمى الحدث
الرياضي ( او حدثية )، او فرضية ... الخ
بمعنى ان فرق المكعبين  يشبه كثيراً فرق المربعين
والإختلاف فى الأسس فقط ، ولكن فرق المربعين يتم تحليله
بهذه الطريقة . مثال :

س² - أ² = (س - أ) (س + أ)

فما هى قيمة س³ - أ³  .. وما هى قيمة س^4 - أ^4 
وما هى قيمة س^5 - أ^5 ......... الخ 
سنركز فقط على الأولى، نستطيع ان نخمن ان

س³ - أ³ = (س - أ) (  مقدار لا نعرفه   )

لاحظ انها معادلة .. الآن نريد المقدار الذى لا نعرفة ؟؟
بقسمة الطرفين على (س - أ )

  س³ - أ³
ـــــــــــــــــــــــ = ( المقدار الذى لا نعرفه )
 (س - أ)

وبإستخدام مفهوم القسمة المطولة نصل الى المطلوب ...

  س² + أ س + أ²
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
    س³ - أ³               | (س - أ)
                             ــــــــــــــــــــ
   س³ - أ س²
ــــــــ بالطرح ــــــــــــــ
 أ س² - أ³
 أ س² - أ² س
ــــــــ بالطرح ـــــــــــــ
   أ² س - أ³
   أ² س - أ³
ـــــــــــ بالطرح ـــــــــــ
 00           00


الآن علمنا انه لإيجاد فرق المكعيب المقدار
المجهول هو : س² + أ س + أ²

اذاً :

س³ - أ³ = (س - أ) (س² + أ س + أ²)

نريد مجموع المكعبين ؟؟ لاحظ انها متطابقة
وبوضع مثلاً أ³ = - ب³ ومنها  أ = - ب

س³ - (-ب)³ ( س - (-ب) ) (س² + -أ س + (-أ)² )

س³ + ب³ = (س+ب) (س² - أ س + أ² )

وبصفة عامة مجموع لإيجاد مجموع المكعبين 
او الفرق فإننا نصنع قوس صغير فيه الحدود
بدون تكعيب، والقوس الكبير عبارة عن
مربع الحد الأول + الأول فى الثانى بإشارة مخالفة
+ مربع الأخير ,,

س³ ± أ³ = (س ± أ ) (س² ∓ أ س + أ²)

هناك طرق أخرى كثيرة فى التحليل ربما اذكر
بعضها فى الرد القادم .

▓ تحليل المربع الكامل ▓

(س ± أ)² = س² ± 2 أ س + أ²

▓ تحليل المكعب الكامل ▓

(س ± أ)³ = س³ ± 3 أس² + 3 أ²س ± أ³

▓ تحليل فرق المربعين ▓

س² - أ² = (س - أ) (س + أ)

▓ تحليل مجموع المكعبين او الفرق بينهما ▓

س³ ± أ³ = (س ± أ ) (س² ∓ أ س + أ²)

▓ طرق أخرى مشتقة من الطرق السابقة ▓

هناك ايضاً التحليل بإكمال المربع، والتحليل بالتقسيم
والتحليل بإخراج العامل المشترك  ....
 

▓ بعض الأمثلة ▓

(س + 4)² = س² + 8س + 16
(س - 4)² =  س² - 8س + 16

س² - 9 = س² - (3)² = (س - 3) (س + 3)

◄ س³ - 27 = س³ - (3)³

= (س - 3) (س² + 3س + 9)

▓ مثال على التحليل بالتقسيم، واكمال المربع ▓

اذا وجدت : س² + 2س + 1

فإن هذا المقدار = (س+1)²
لأنه يدل على نشر حدودية المربع الكامل

كيف نعرف ان المقدار مربع كامل ام لا ؟؟
الشرط الموفرة لكى نقبل المقدار كمربع كامل ..

1) ان يكون الحد الأول ، والأخير موجبين معاً او سالبين معاً
2) ان يكون الحد الأوسط = 2 جذر(الحد الأول) × جذر(الحد الثالث)

مثال) س² + 4س + 1   ليس مربع كامل .. لماذا ؟؟

لأنه من المفترض ان الحد الأوسط = 2س
لكننا نستطيع نفعل ذلك بالتقسيم .. نفك
4س الى 2س + 2س  .. اذاً

س² + 4س + 1 = س² + 2س + 1   +  2س

= (س+1)² + 2س      ....   وهكذا .


مثال آخر .. س² + ص² هل يمكن اكمال المربع ؟؟
نعم يمكن اكمال المربع بوضع 2س ص ثم طرحه مرة أخرى

س² + ص² = س² + 2س ص + ص²  - 2س ص

= (س+ص)² - 2س ص

مثال ثالث :  تحيل المقدار الثلاثى ..

س² - 3س - 10 = (س -   ؟؟   )  (س +  ؟؟  )

= (س - 5 ) ( س + 2)

 موقع جوجل اجابات

تابع القراءة

3 لماذا ندرس تقعر الدالة من المشتقة الثانية ؟

سؤالك أكثر من رائع وكنت انتظر ان يطرح احد
الأعضاء هذا السؤال :::::
اذا فهمت ما هو المعنى الهندسى للمشتقة الأولى
تكون بذلك اجبت على سؤالك :-

المعنى الهندسى للمشتقة الأولى :

هى الدالة التى نعبر بها عن قيم ميل المماس للدالة
(الأصلية) عند اى نقطة تقع عليها .

وما هى قيم ميل  المماس للدالة، هل ميل المماس للدالة
ثابت ؟

بالتأكيد لا والا لما خصصنا له دالة اصلاً، ولكن الدوال
الخطية ميلها ثابت : مثال : د(س) = 2س + 1
هذه الدالة ميلها ثابت دائماً = 2 ويمكن ان نقول
دَ(س) = 2  اى ان دالة ميل المماس دالة ثابتة
عند اى نقطة تقع على الخط المستقيم ..

الآن امسك مستطرتك وقبتها فى خط افقى وقولى
ما هو ميل المسطرة ؟؟

ستجيب وتقول لا ميل لها لأنها فى خط افقى، اى انها
لاتميل ولا لليسار ولا للمين ( تستطيع تقول انها على الحياد)

نقول على هذا الميل انه = 0
الميل الصفرى ( اى لا ميل )

الآن انحنى لمسطر قليلاً لأعلى، ولكن قبل ان تصنع هذا
ضع المستطرة فى مستوى افقى على مكتب ومن ثم
ابدأ برفع طرف المستطرة مع تثبيت الطرف الآخر بحيث
تكون قياس الزاوية بين المكتب والمسطرة زاوية ما بين
الصفر والـ 90 درجة ( اى انها زاوية حادة )، هل الميل الذى
تميل به المسطرة فى الوضع الأفقى ( زاوية  0 ) هو نفسه
الميل الذى تميل به المسطرة عند الزاوية 10 هو نفسه
الزاوية التى تميل بها المستطرة عند الزاوية 60 درجة بينها
وبين سطح المكتب ؟؟

بالتأكيد ستكون الإجابة بالنفى حتماً، بل ان الميل فى زيادة
كلما كانت الزاوية اكبر فى الفترة [0 ، 90 [
الآن اجعل المسطرة فى وضع رأسى ( اى الزاوية بينها
وبين سطح المكتب 90 ْ)  اذا كنت تعتقد ان هذا الميل
يساوى صفر فأنت مخطىء لأن الميل عندما كانت الزاوية
بين المسطرة وسطح المكتب 89.99999 كانت أكبر ما يمكن
لذلك يكاد يصل الى ملانهاية لذلك نقول على ميل المسطرة
فى الوضع الأفقى، والوضع الرأسى انها ميل (حرج ) للدالة

ثم ابدأ الآن بالميل العكسى (اى الذى اكبر من 90 درجة)
وهنا لكى نفرق بينه وبين الميل الموجب يأخذ نفس قيم
الميل الموجب لكن الإشارة سالبة ... بالنسبة لميل الخط
المستقيم فى الرياضيات هو :


                 مقدار تغير ص
الميل = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 مقدار تغير س

او فرق الصادات/فرق السينات

                                              المقابل
بعبارة أخرى ميل الخط المستقيم = ـــــــــــــــ
                                              المجاور

اى ان الميل = ظاهـ

حيث هـ قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم
مع الإتجاه الموجب لمحور السينات .

اعتبر كل ما سبق كان مقدمة عن متى يكون الميل
موجب ومتى يكون سالب .

الآن نأخذ الدالة د(س) = س²

د(س) = س³ - س     "1"

هذه الدالة ميلها غير ثابت عند كل نقطة
تقع عليها نظراً لأنها لا تشكل خط مستقيم
بل تشكل منحنى، هذا المنحنى ( وهذا يهمنى جداً )
هذا المنحنى نستطيع ان نقول له طرفين اما ان يكون
مفتوح لأعلى او مفتوح لأسفل، وله رأس تكون عنده
ميل المماس للدالة بصفر ، هذا الرأس بدوره ان يقسم
المنحنى الى قسين .. فإذا كان المنحنى مفتوح لأعلى 

دَ(س) = 3س² - 1    "2"

كان الشق الايسر من - ملانهاية الى رأس المنحنى
تناقصى، ومن رأس المنحنى الى موجب مالانهاية تزايدى
واذا كان المنحنى مفتوح لأسفل فعكس ذلك صحيح .

مثال : د(س) = س³ - س    " شكل 1 "

وبإيجاد المشتقة الأولى للدالة .

دَ(س) = 3س² - 1      " شكل 2 "



بمساواه المشتقة بصفر لإيجاد النقاط الحرجة .

3س² - 1 = 0  ومنها 3س² = 1

اذاً س = ±جذر(1\3)

الآن كل نفطة واقعة على  منحنى الدالة :
د(س) = س³ - 1  لها ميل مماس اما
ان يكون موجب او ان يكون سالب ، او يكون
صفر عندما س = ±جذر(1\3)

وقيم هذه المشتقات مأخوذة من الدالة
دَ(س) = 3س² - 1

اذاً كل نقطة تقع على منحنى الدالة
دَ(س) = 3س² - 1  هى ميل مماس
للدالة د(س) = س³ - س  عند نفس
النقطة التى تم التعويض بها .

الآن فى الدالة الأصيلة الميل يظل فى زيادة
من سالب مالانهاية الى اول نقطة حرجة وهى
 س = جذر(1\3)
ثم يظل فى نقصان من من هذه النقطة الى الصفر
وهكذا نجد ان هذه الفترة من ]-∞ ، 0 ] تشكل منحنى
اى ان الميل كان له اشارتين فقط على هذا المنحنى
وهو موجب او سالب، من جهة أخرى لو نظرت الى
دالة المشتقة الأولى فإن القيم الموجبة من 0 الى
س = جذر(1\3) ومن ثم سالبة من س = جذر(1\3)
الى س = 0

الإستنتاج : نصف منحنى من دالة المشتقة الأولى
عبر بالفعل عن جميع المشتقات الأولى للدالة
الأصلية عن اول منحنى .. تستطيع ان تقول

½  :   1

   ( بس متقولش كدا لحد ده خليه سر بينى وبينك )

نصف منحنى من المشتقة الأولى قد غطى بالفعل منحنى
بالكامل من الدالة الأصلية، فإذا اردنا ان نستهدق المنحنى
الآخر للدال الأصلية ( لاحظ انهم منحنيين ينفصلوا عند الصفر )
فإن قيم المشتقات الأولى لجميع النقاط الواقعة على المنحنى
الآخر قيمها اصلاً مأخوذة من دالة المشتقة الأولى من النصف
الثانى لمنحنى المشتقة الأولى .

الإستنتاج الأخير : رأس منحنى المشتقة الأولى هى
نقطة حرجة لهذه المشتقة وهى نقطة انعطاف للدالة
الأصلية .

ولكن رأس المنحنى كما اتفقنا هى قيمة حرجة للدالة
اى انك وبمساواه المشتقة الثانية بصفر لإيجاد النقاط
الحرجة والتى تمثل نقط انعطاف للدالة الأصلية .

المشتقة الثانية : دً(س) = 6س

بمساواه المشتقة الثانية بصفر لإيجاد نقط
الإنعطاف :

6س = 0   عندما س = 0 نقطة انعطاف للدالة الأصلية .


من أخرى ( بالمرة ) لماذا ندرس اختبار القيم القصوى
من المشتقة الثانية ايضاً ؟

لاحظ قلنا ان النقاط للحرجة للدالة الأصلية
هى عندما س = ±جذر(1\3)

والتى صورهم تختلف من معادلة الدالة الأصلية
الى معادلة ميل المماس ( المشتقة الأولى )

بما انهم نقاط حرجة اذا ً صورهم وبدون شك فى
المشتقة الأولى صفر   ( وهذا اكيد )

ولكن كيف نفرق بين الأولى والثانية
فالأولى س = جذر(1\3) صورتها صفر
والثانية س = - جذر(1\3) ايضاً وصرتها
صفر       .   "  شكل 2 "

بالنظر الى المشتقة الأولى _ شكل 2

تجد ان ميل المماس عندما س =  جذر(1\3) سالب
هذا النصف الذى اختبرنا فيه المنحنى فى الدالة الأصلية
الذى كان مفتوح لأسفل، وكان رأس المنحنى لأعلى .

كذلك اذا اختبرت ميل المماس للمشتقة الأولى
عندما س = -جذر(1\3) تجد ان موجب بالتأكيد
وكما اتفقنا فإن النصف الثانى كان يصف المشتقة
الأولى للمنحنى الثانى للدالة الأصلية .

الإستنتاج : ميل المماس للمشتقة الأولى هو نفس
التعبير للمشتقة الثانية .. يعنى ميل المماس لمشتقة
الأولى هو نفسه المشتقة الثانية .. لذلك ..

فى مثالنا : دً(س) = 6س

دً(- جذر(1\3)) = قيمة سالبة ( لا يهم ما هى )
المهم انها سالبة اذا ً  عندما س = جذر(1\3)
قيمة عظمى محلية للدالة  ..

دً(جذر(1\3)) = قيمة موجبة .

اذاً  عندما س = جذ(1\3) قيمة صغرى محلية للدالة .

للمزيد

تابع القراءة

0 مسائل متنوعة على القيم القصوى وتقعر الدالة

سـ 1 / ما قيمة أ و ب التي تجعل النقطة ( 1 ، 2 )
 نقطة الإنقلاب لـ الدالة : ص = أس³ + ب س² ؟

سـ 2 / أوجد النقطة الواقعة على منحنى
 ص = س^4 - 4 س³ و التي يكون عندها
ميل المماس أصغر ما يمكن ؟

سـ 3 / إذا علمت أن الدالة د( ج ) = -1 و مشتقة الأولى
 للدالة دَ( ج ) = 0 و المشتقة الثانية للدالة دً( ج ) = 7 فأن
 عند س = ج تكون دالة النقطة :
أ) عظمة محليه .     ب ) صغرى محلية .
     ج ) الإنقلاب .     د ) نقطة الأصل .

سـ 1 / ما قيمة أ و ب التي تجعل النقطة ( 1 ، 2 )
 نقطة الإنقلاب لـ الدالة : ص = أس³ + ب س² ؟

طبعاً أ ، ب ثابتين .

صَ = 3أس² + 2ب س
صً = 6أس + 2ب = 0

                                   -ب
3أس = -ب  ، ومنها س = ــــــــــــ
                                    3أ

بالتعويض بـ س =  1

-ب = 3أ  ومنها ب = -3أ

بالتعويض بالنقطة فى الدالة الأصلية

2 = أ + ب   ولكن ب = -3أ بالتعويض

2 = أ - 3أ  ومنها -2أ = 2  ومنها أ = -1

ب = -3أ  ومنها ب = 3

.............................................................
سـ 2 / أوجد النقطة الواقعة على منحنى
 ص = س^4 - 4 س³ و التي يكون عندها
ميل المماس أصغر ما يمكن ؟

على الرغم من عدم وضوح السؤال الا اننى
افهم من ذلك ايجاد النقطة التى تكون عندها
الدالة قيمة صغرى محلية .

َصَ = 4س³ - 12س² = 0

س³ - 3س² = 0

س²(س - 3) = 0

س = {0 ، 3} احداثيات سينية حرجة للدالة .

بإختبار المشتقة الثانية عند 0 ، 3

دً(س) = 12س² - 24س

دً(0) = 0

دً(3) = 36

اذاً س = 3  قيمة صغرى محلية .

بالتعويض فى الدالة الأصلية

د(3) = -27

اذاً النقطة هى (3 ، -27)
.........................................................
سـ 3 / إذا علمت أن الدالة د( ج ) = -1 و مشتقة الأولى
 للدالة دَ( ج ) = 0 و المشتقة الثانية للدالة دً( ج ) = 7 فأن
 عند س = ج تكون دالة النقطة :
أ) عظمة محليه .     ب ) صغرى محلية .
     ج ) الإنقلاب .     د ) نقطة الأصل .

بما ان د(ج) = -1 اذاً النقطة (ج ، -1) تحقق الدالة
وهى ايضاً نقطة حرجة للدالة لأن جعلت المشتقة
الأولى للدالة تساوى صفر ، ولكن المشتقة الثانية
عندها موجبة .. اذاً ج قيمة صغرى محلية .

 ب ) صغرى محلية .

تابع القراءة

0 إوجد عدد البيض ؟

طارح السؤال: (Seso BlackAngel)
وَآحدَه سِـت عَايَزه تِععرَف معآهآ كَم بِيَضَه وِ مش عَآرفَه بتقول لما برصهم
اتنانات بيفضل معايا واحده ولما برصهم تلاتات بيفضل معايا واحده ولما برصهم
اربعات بيفضل معايا واحده ولما برصهم خمسات بيفضل معايا واحده ولما برصهم
ستات بيفضل معايا واحده ولما برصهم سبعات مش بيفضل معايا حاجه يبقى معايا كم بيضه ؟

السؤال بصيغة أخرى : ما العدد الذى اذا قسمناه
على {2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6} يكون الباقى 1 ، واذا قسمناه
على 7 لم يتبقى شىء ؟

نفرض ان هذا العدد س لذلك .
وبإيجاد المضاعف المشترك الأصغر
لـ {2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6}  وهو 60
اى ان س تقبل القسمة على 60 والباقى هو 1 .

الآن :

س ≡ 1 (مود 60)        "1"
س ≡ 0 (مود  7)        "2"


من "1" نفرض ان س = 1 + 60م   .."3"
حيث م عدد طبيعى .

بالتعويض فى "2"

1 + 60م ≡ 0 (مود  7) 

60م ≡ -1 (مود  7) 

وبعد ارسال مضاعفات العدد 7 الى الطرف الايسر
نجد ان :

60م ≡ -1 + (7×43) (مود  7) 

60م ≡ 300 (مود  7) 

م ≡ 5 (مود 7)         .. بالتعويض فى "3"

س = 1 + 60م  

س = 301

اى ان عدد البيض هو 301 بيضة .
.......................................................

تابع القراءة

4 معلومات مبسطة عن الأعداد الأولية والأعداد المؤلفة

قبل تعريف ما هى الاعداد الأولية نضرب بعض الأمثلة
على تحليل الأعداد الطبيعية .

نعلم ان : 12 = 4 × 3 = (2)² × 3

من جهة أخرى قواسم العدد 12 هى :

{1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12}

هنا نقول على ان العدد 12 غير اولى لأن قواسمه 
أكثر من (2 قاسم )  عدد قواسم العدد 12 هم 6 قواسم
اذاً العدد غير اولى ( نطلق عليه عدد مؤلف )

12 تقبل القسمة على 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12

من جهة أخرى العدد 5  = ؟؟

قواسم 5 هى {1 ، 5}

اى ان 5 تقبل القسمة على 1 ، 5
يعنى تقبل القسمة على 1 ونفسها فقط
اى ان لها قاسمين فقط، ولذلك نقول 5 عدد اولى
لأنها لا تقبل القسمة على 1 ونفسها 

من جهة أخرى هل 1 عدد اولى :

1 كان يعامل معه فى السابق على انه عدد اولى
حيث انه لا يقبل القسمة الا على نفسه والواحد
اى نفسه ونفسه .. اى نفسه وفقط 
( لأنها لا تضيف جديد )

بإختصار اى ان 1 له قاسم واحد .. ولكن تعريف الأعداد
الأولية هى التى لها قاسمين 1 ، نفسها .. اذاً نستثنى
الواحد من الأعداد الأولية .. ثم نبدأ بالعدد 2 هو عدد اولى
لأن 2 تقبل القسمة على 1 ونفسها فقط .

الآعداد الأولية تبدأ من 2   ... . ولا نهاية لها

{2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، .....}


ملحوظة : جميع الأعداد الأولية فردية فيما عدا الـ 2
والعكس ليس من الضرورى ان يكون صحيح .


مثال : 5 عدد اولى فردى

بينما 9 فردى لكنها ليست عدد اولى لأن 9 = (3)²

اى ان قواسم 9 هى 1 ، 3 ، 9


ملحوظة 2) جميع الأعداد الزوجية هى أعداد مؤلفة
( يعنى ليست اولية ) فيما عدا الـ 2 .

تابع القراءة

8 اثبت ان قياس الزاوية المحيطية = نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها فى نفس القوس

فى الشكل "1" فيه المثلث م ب جـ متساوى الساقين
( كلا ساقيه انصاف اقطار ) كذلك ب م أ متساوى الساقين

فرضنا ان نصف الزاوية المركزية = ص
يترتب عليه ان مكملتها = 180 - ص
من ثم فرضنا ان نصف الزاوية المحيطية = س

ولكن زوايا المثلث أ م ب = 180 درجة .. اذاً

180 - ص + 2س = 180  ومنها

-ص + 2س = 0

اذاً  ص = 2س

ونفس الخطوات نكررها مع المثلث أ م جـ 
لنكتشف ان قياس الزاوية المحيطية = ½
قياس الزاوية المركزية المشتركة معها فى نفس
القوس .

تابع القراءة

0 برهن على ان اى عدد يتكون من آحاد وعشرات فإن حاصل طرحه من مجموع رقميه ( الآحاد والعشرات) من مضاعفات العدد 9

عدد بين 10  ،  90

10 - 1 = 9

90 - 9 = 81

هكذا تأكدنا من سلامة الحل من بداية الفترة
الى نهايتها، والتى تحتوى الأعداد الصحيحة
المحصورة فى الفترة [10 ، 90]

الآن جميع هذه الأعداد تتكون من آحاد وعشرات فقط
نفرض ان رقم الآحاد آ  وان رقم العشرات ع
هل لاحظت ان هناك فرق بين مجموع رقمى الآحاد
والعشرات، وقيمة العدد نفسه ؟؟ .. بمعنى


24  هذا العدد قيمته 4 + 20

انما مجموع ارقامه = 4+2 = 6

اى ان قيمة العدد فى خانة العشرات يكون
مضروباً فى 10 ( وانت تعلم ذلك جيداً )

الآن : نريد ان نثبت ان : آ ع - (آ+ع) = 9م

لكل آ = الآحاد ، ع = العشرات ، م عدد طبيعى .

الآن اعد تعريف العدد آ ع  الى آ + 10ع
وقد علمت انت مسبقاً لماذا نصنع ذلك ..

آ ع - (آ+ع) = آ + 10ع - آ - ع

اختصر  آ  مع  آ   ومن ثم اجمع 10ع - ع = 9ع

اى ان ع هنا = م  ( التى فرضناها )

اى ان : 9ع  من مضاعفات العدد 9  لأن عد عدد صحيح .

الإستنتاج (الموسع ) اى عدد يتكون من آحاد وعشرات
فإن حاصل طرح العدد الأصلى من مجموع رقميه الآحاد
والعشرات يقبل القسمة على 9 ( اى من مضاعفتها )

مثال "1" : 53

لذلك فإن : 53 - (3+5) = 45

مثال "2" : 99

99 - (9+9) = 81


.......................................................................................
::: فى الحقيقة يمكن تعميم هذه المبرهنة بشكل عام على جميع
الآعداد الصحيحة لنستنتج انه فى جميع الحالات تقبل القسمة على 9 .


مثال : 465 - (5+6+4) = 450


450 ÷ 9 = 50

تابع القراءة

14 اهم قوانين التفاضل والإشتقاق 2 ثانوى مع ضرب أمثلة

الإشتقاق هو معدل تغير الدالة عند اى نقطة
قابلة للإشتقاق فيها .. اول قانون من قواعد الإشتقاق
هو قانون معدل التغير .. بالنسبة لـ تغير س ..

                                  د(س+هـ) - د(س)
معدل التغير = نهــ ـــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  هـ← 0                هـ

من اهم قواعد الأإشتقاق على الإطلاق هى قاعدة chain rule
المفهوم البسيط منها يقتضى انه اذا كانت ص = [د(س)]^ن

فإن : صَ = ن [د(س)]^(ن-1) × دَ(س)

القاعدة الثانية هى قاعدة حاصل الضرب ( product rule )

اذا كانت ص = د(س) ر(س)

حيث د(س) ، ر(س)  ≠ 0

صَ = دَ(س) ر(س) + رَ(س) د(س)

او بالمختر = 
مشتقة الأول  × الثانى + مشتقة الثانى  × الأول

القاعدة الثالثة ، والمشتقة من القاعدة السابقة
، وهى قاعدة اشتقاق حاصل قيمة دالتن ( Quotient rule)

                          د(س)
اذا كانت : ص = ـــــــــــــــــــــــــــ
                          ر(س)

               دَ(س) ر(س) - ر(س) د(س)
فإن : صَ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           [ر(س)]²


        مشتقة البسط × المقام - مشتقة المقام × البسط
او : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           مربع المقام
▓ اليك بعض الأمثلة ▓

د(س) = س² + 1

دَ(س) = 2س

حيث ان مشتقة الثابت = 0

مثال 2) د(س) = س³ + 2س + 4

دَ(س) = 3س² + 2

تم تطبيق اعدة chain rule ، وعرفنا ان مشتقة 4 = 0

مثال 3) د(س) = س³ س²

دَ(س) = 3س² س² + 2س س³

تم تطبيق قاعدة الضرب product rule 

نرتب ما سبق : دَ(س) = 3س^4 + 2س^4
= 5 س^4

                       س^4 + 3
مثال 4) د(س) = ــــــــــــــــــــــــــ
                         س + 1


            4س³ - (س^4 + 3)
دَ(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  (س+1)²


ملاحظة : رمز المشتقة الأولى يرمز له كـ َ مثلاً دَ(س)
وكذلك نعبر عنه بـ

                       دص
                    ــــــــــــ
                      دس

والمقصود منها معدل تغير ص / معدل تغير س
النهـايات ..

نظرية (1) نهــــــــا د(س) = د(أ)
           س←أ

بمعنى اذا وجدت نهاية فإننا نعوض بـ س = أ
تعويض مباشر فى الدالة، والكمية تكون معينة
فى هذه الحالة ..

نظرية (2) اذا كانت : نهــــــاد(س)  = 0/0
                        س←أ

فإن الناتج لم يتعين، ويتطلب اختزال العامل
الصفرى بسطاً ومقاماً، وهو  (س-أ)
وبعد اختزال العامل الصفرى تعطى دالة جديدة
تماماً، ولتكن هى : ق(س)
فإن النهاية = ق(أ)

                              جذر[ق(س)]
نظرية (3) اذا كان نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــ
                     س←أ       ر(س)

تعطى كمية غير معينة 0/0 مثلاً ..
فإننا نقوم بالضرب فى مرافق الجذر
مثال : اذا كانت الدالة تحتوى فى المقام
جذر(س²+1) - 1

فإننا نضرب بسطاً ومقاماً فى :
جذر(س²+1) + 1

الى ان يظهر العامل الصفرى فى البسط
والمقام/ وهو (س - أ)

نظرية 4)

          س^ن أ^ن        ن
نهــــــا ـــــــــــــــــــــــــ = ــــ × أ^(ن-م)
س←أ    س^م - أ^م       م


نظرية(5)  اذا كان :
             ق(س)
نهـــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ = 0/0
س←أ    (س - أ) [ر(س)]

والعامل الصفرى ظهر فى المقام فقط
، ق(س) = حدودية
=أس^ن + ب س^(ن-1) + ... + جـ

نستخدم القسمة المطولة بقسمة
حدودية البسط على العامل الصفرى
هكذا ..


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أس^ن + ب س^(ن-1) + ... + جـ    |(س-أ)
                                               ــــــــــــــــ
.
.
.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الى  ...   0000


►نهاية الدوال المثلثية عند الصفر ◄

          جاس
نهــــــا ـــــــــــ = 1
س←0   س

            ظاس
نهـــــــا  ـــــــــــــ= 1
س←0     س

        جتاس - 1
نهـــــــا ــــــــــــــــــ = 0
س←0      س

وبتعميم القاعدة ...

           جاأس         أ
نهـــــــا ــــــــــــــ = ـــــــ
س←0    ب س       ب


            ظاأس         أ
نهـــــــا ــــــــــــــ = ـــــــــ
س←0     ب           ب


نهـاية دالة عند اللانهاية ..

نظرية1)
              أ
نهــــــا   ــــــــــ = 0
س←∞   س

حيث أ ثابت

نظرية2)
           س
نهــــــــا ـــــــــــ = ∞
س←∞    أ


نظرية3) اذا كانت ن > م

           س^ن
نهـــــــا ـــــــــــــ = ∞
س←∞  س^م

              س^م
، نهــــــــا ـــــــــــــــ = 0
س←∞    س^ن


نظرية4) اذا كانت

            ق(س)
نهــــــــا ــــــــــــــــ = ∞/∞
س←∞   ر(س)

كمية غير معينة، فإننا نقوم بتعيين الناتج
بالقسمة بسطاً، ومقاماً على س مرفوعة
لأكبر اس فى المقام ..
.....................................................
تستطيع ان تطرح مشتقة دالة
معينة ونتناقش فيها اذا اردت ذلك .
تستطيع ايضاً ان تذكر نقاط ضعفك
فى التفاضل، او بعيداً عن التفاضل
مثل توزيع البسط على المقام
فى حالة الدالة الكسرية، مثل
تبسيط بعض الدوال قبل اشتقاقها
، وايضاً يلزمك بعض طرق التحليل
مثال :
                  س² - 1
د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــ
                   س+1

هل نحن بحاجة الى تطبيق قاعدة القسمة ؟؟
بالطبق ممكن لكن الافضل هو تبسيط الدالة
قبل الإشتقاق ..

            (س+1) (س - 1)
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 (س+1)

بإختصار القوس (س+1)

د(س) = س - 1  هكذا اصبحت من الدرجة الأول ( خطية )

الميل = معامل س = 1  = المشتقة  الأولى للدالة ..


مثال آخر : د(س) = (س+1)²

هناك قاعدة تقول : مشتقة قوس يحتوى دالة
= مشتقة القوس  × مشتقة ما داخل القوس

دَ(س) = 2(س+1)  ×  1

نلاحظ ان مشتقة ما داخل القوس = 1

دَ(س) = 2(س+1)

نريد ان نوجد المشتقة الأول لهذه
الدالة عندما س = 0   مثلاً ، بالتعويض

دَ(0) = 2 (0+1) = 2(1) = 2

►
شرح الوحدة الخاصة بتوحيد المقامات ◄
بالنسبة للمرحلة المتوسطة ( الإعدادية )

ولنبدأ بمثال بسيط جداً لا يتطلب قاعدة
لحساب مجموعه ..

   1           1
ـــــــــــ + ــــــــــ = 1
   2          2

جمعنا البسط مباشرةً لأن المقامات موحدة
مثال آخر :

  1            1            3
ــــــــــ + ــــــــــــ = ـــــــــــــ
  2           4             4

هذا مثال سهل لا يحتاج حتى لتوحيد
المقامات حيث انك تستطيع ان تتخيل شكل
عبارة عن دائرة قسمة اربعة ارباع نصف، وربع
= ثلاثة ارباع الشكل ( كل هذه صور ذهنية )
الآن نريد ان نحل بالطريقة العملية ، انت امام
طريقتين لتوحيد المقامات الأولى منطقية
صورية، والثانية عبارة عن افكار مجردة غير مفهومة
المعنى .. الطريقة الأول :-

   1            1
ـــــــــــ + ـــــــــــــ
  2            4

نعلم ان المقام 2 اقل من المقام
4 ، ماذا تفعل لكى نجعل المقام
فى بالنسبة للكسر الأول  4  ؟؟
بالضرب بسطاً ومقاما فى 2
نأخذ الكسر على حدى للتضويح

                   1            1          2          2
هذا الكسر : ــــــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــ = ـــــــــ
                   2           2           2          4

ما الذى حدث ؟؟ الذى حدث هو اننا ضربنا
ضربنا المقدار فى 1 .. كيف ؟؟
لاحظ ان 2 / 2 = 1 اذاً هذه الخطوة لا تؤثر
فى قيمة الكسر نفسه، فقط من اجل توحيد
المقام .. بالعودة للمثال السابق ..

   1           1            2           1
ـــــــــــ + ـــــــــــ = ـــــــــــ + ـــــــــــ
  2           4            4           4

بما ان المقامات مو حدو، فنقوم بجمع البسط ..

      3
= ـــــــــــ
      4


الطريقة الأخرى هى بعدما فهمت الطريقة الأول
للحفظ ( انصحك بحفظها )

   1           1
ـــــــــــ + ـــــــــــــ
  2            4

نقوم بضرب المقامين ، ثم بطريقة المقص
حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين

       (1×4) + (1×2)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
           (2 × 4)

         4 + 2
= ـــــــــــــــــــــــــ
           8


       6              3
= ـــــــــــــــ = ــــــــــــ
       8              4


اختصرنا 6 مع 8 حيث ان هناك
عامل مشترك بينهما، وهو 2
تم التخلص منه بسطاً، ومقاماً ..


طرح الكسور ..

    أ            جـ
ــــــــــــــ - ــــــــــــــــ
  ب             د


     (أ × د) - (ب × جـ)
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            ب × د

امثلة أخرى اعجبتنى ..

اوجد معدل التغير للدالة د بحيث
د(س) = جذر(س+3) عند س=1
ومن ثم اوجد قياس الزاوية التى
يصنعها المماس لمنحنى الدالة
د عند :
                   -11
         س = ــــــــــ
                    4

فى الإتجاه الموجب لمحور السينات ... الحلـــــــــ

د(س) = جذر(س+3)  بالتحويل الى الصورة الاسية

د(س) = (س+3)^½ بتطبيق قاعدة chain rule

دَ(س) = ½(س+3)^-½

دَ(1) = ½(1+3)^-½ = ½(4)^-½

                                           1
= ½ × جذر(4)^-1 = ½ × جذر(ـــــــ)
                                          4

= ½ × ½ = ¼

المطلوب الثانى لكى نوجد الزاوية التى يصنعها المماس
نعوض ايضاً فى المشتقة، ثم نوجد الميل بطريقة
ظاهـ = الميل  حيث هـ الزاوية المحصور بين معادلة المماس
ومحور السينات فى الإتجاه الموجب له ..

    -11              -11
دَ(ـــــــــــ) = ½(ــــــــــ + 3)^-½
     4                4

بتوحيد المقامات داخل القوس، كالتالى
( سأذكر هذه الخطوة اولاً ..)
ما داخل القوس هو :

 - 11           3       (1×-11) + (3×4)
ـــــــــــــ + ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ
   4             1              4 × 1

      1
= ــــــــــ
      4

لاحظ كل هذه الخطوات تتم ذهنيا، وضعتها
من اجل التوضيح فقط، ولا داعى لكتابتها
فى ورقة الإمتحان .. عرفنا ان ما داخل
القوس = ¼ بالتعويض

المشتقة = ½(¼)^-½

= ½ جذر(¼)^-1 = ½جذر(4)

= ½ × 2 = 1

وهنا ملحوظة هامة جداً جذر(¼)^-1
لكى نلغى الأس السالب نقلب الكسر فقط ..

الآن الميل عندما س = -11 / 4  هو 1

الميل = ظاهـ = 1

ما هى الزاوية التى ظلها = 1 ؟؟
على الآلة اضغط shift tan (1) =         ll
بنظام الرديان الزاوية = ط/4
بالنظام الستينى الزاوية = 45 ْ

تابع القراءة