هل هناك قواعد عامة لمعرفة قابلية القسمة على عدد ما ؟

فى نظرية الأعداد من خصائص التطابقات :

اذا كان أ ، ب عددين صحيحين بحيث ان :

   أ
ـــــــــــ =  م ن + ب
  ن

حيث ن ، م عدد صحيح ، ب هو باقى قسمة أ على ن
وتكتب العلاقة السابقة بتلك الصورة :

أ ≡ ب (مود ن)  ، وتقرأ : أ يطابق ب  مود ن

مثال : 5 ≡ 1 (مود 2)

لأن 5 تقبل القسمة على 2 ، والباقى 1

الخاصية الأهم فى انظمة التطابقات، والتى
نحن بصددها الآن هى :

اذا كان : أ ≡ ب (مود ن)

فإن : د(أ) ≡ د(ب) (مود ن)

حيث د : دالة فى س يعنى قد تكون د(س) = س²
او د(س) = 2س ، وا د(س) = س² + 2س + 1 .. الخ

مثال : 5 ≡ 1 (مود 2)

وبفرض دالة فى س :  د(س) = س²

اذاً : د(5) ≡ د(1) (مود 2)

      25 ≡ 1 (مود 2)

اتمنى ان تكون هذه الخطوة واضحة لأنها محور الأساس .


► قابلية القسمة على اى عدد صحيح◄

ليكن : أ ، ب عددان صحيحان ، ن كذلك بحيث

 أ ≡ ب (مود ن)

وبفرض دالة فى س  .. لكن ما هى ؟؟ هل نختار اى دالة ؟؟
بالطبع لا .. الدالة المختارة هى دالة النظام العشرى .. وهى
(( قبل الإنتقال لهذه الخطوة يفضل استعمال متصفح موزيلا
فاير فوكس لكى تظهر الرموز واضحة ))

د(س) = أ₀ س⁰ + أ₁ س¹ + أ₂ س² + ... + أر س^ر

مثال قبل الشرح : العدد 123 يمكن وضعه على الصورة :

123 = 3 + 20 + 100

اى ان قيمة 3 فى الآحاد كما هى ، وقيمة 2 فى العشرات
 = 20 (يعنى 2 × 10) وقيمة 1 فى الأولف = 100= (10^2)

لذلك يمكن نشر العدد 123 بهذه الصورة ايضاً :

123 = 3×(10)⁰ + 2×(10)¹ + 1×(10)²

حيث تم استبدال س بالعدد 10 .

الآن بالعودة الى ما كنت نتحدث عنه ..
ليكن : أ ≡ ب (مود ن)

وبفرض د : بحيث :

د(س) = أ₀ س⁰ + أ₁ س¹ + أ₂ س² + ... + أر س^ر

فهذا معناه ان :

د(أ) ≡ د(ب) (مود ن)

د(أ) : يعنى احذف كل س وضع أ
د(ب) : احذف كل س وضع ب

░ او مثال عملى قابلية القسمة على 3 ░

يقبل عدد ما القسمة على 3 اذا كان مجموع ارقامه
تقبل القسمة على 3 ايضاً، واذا كان العدد كبير
نستطيع تكرار الخوارزمية للوصول الى النتيجة .

مثال :  123 يقبل القسمة على 3 لأن 3+2+1=6

الإثبات :

نبدأ عند :  أ ≡ ب (مود ن)

وبوضع ن = 3  ، أ = 10
تعلم ان 10÷3 = 9 ، والباقى 1 اذاً  ب = 1

10 ≡ 1 (مود 3)     مما يعنى ان :

د(10) ≡ د(1) (مود 3)

وبفرض دالة فى س بحيث :
د(س) = أ₀ س⁰ + أ₁ س¹ + أ₂ س² + ... + أر س^ر

الآن نوجد كلاً من د(10) ، د(1)

د(10) = أ₀×(10)⁰ +أ₁ (10)¹ + .... + أر (10)^ر

لاحظ ان 10^0 = 1  .. وايضاً لاحظ ان
أ₀ القصد منها رقم الآحاد ، أ₁ رقم العشرات ... وهكذا

مما سبق نستنتج ان د(10) = العدد الأصلى الذى
نريد إختبار قابلية القسمة عليه ..

د(1) = أ₀×(1)⁰ +أ₁ (1)¹ + .... + أر (1)^ر

      = أ₀ + أ₁ + أ₂ + .... + أر

لأن (1) اس اى عدد هو نفسه .. بالعودة الى :

د(10) ≡ د(1) (مود 3)

اذاً :

العدد الأصلى ≡ أ₀ + أ₁ + أ₂ + .... + أر (مود 3)

نستنتج ماذا ؟؟

نستنتج انه اذا كان العدد الأصلى يقبل القسمة على 3
فإنه لابد ان يتحقق ان :  أ₀ + أ₁ + أ₂ + .... + أر
يقبل القسمة على 3 ايضاً .. هل تعلم ما معنى

 أ₀ + أ₁ + أ₂ + .... + أر       ؟؟

المقصود منها جمع العدد الأصلى مع عدم مراعاه الضرب
فى (10)^ر  .. يعنى بإختصار اجمع ارقام العدد ..


مثال : اثبت ان : 170962368  يقبل القسمة على 3

الحل : 8+6+3+2+6+9+0+7+1 = 42
ولكن 42 تقبل القسمة على 3 لأن : 2+4 = 6

► قابلية القسمة على 11◄

بما ان : 10 ≡ -1 (مود 11) اذاً د(10)≡د(-1) (مود ن)

العدد الأصلى ≡  أ₀ + أ₁ (-1) + أ₂ (-1)²
                              + .... + أر (-1)^ر (مود ن)

مما سبق نلاحظ انه يقبل عدد ما القسمة على 11
اذا كان مجموع الخانات الفردية - مجموج الخانات الزوجية
يقبل القسمة على 11 :

مثال 1) 121 يقبل القسمة على 11 لأن : (1+1) - 2 = 0
والصفر يقبل القسمة على 11 .

مثال 2) 765457  يقبل القسمة على 11 لأن :

(7+4+6) - (5+5+7) = 0

مثال 3) العدد 105075795 يقبل القسمة على 11 لأن :

(5+7+7+5+1) - (9+5+0+0) = 11


► قابلية القسمة على 7◄

بما ان : 10 ≡ 3 (مود 7) اذاً د(10)≡د(3) (مود 7)

العدد الأصلى ≡  أ₀ + أ₁ (3) +...+ أر (3)^ر (مود 7)

ولكن لاحظ انك مهما رفعت (3) لأى اس فإنها لا تقبل
القسمة على 7 لماذا ؟؟ لأن 3 عدد اولى ولا يوجد
بينم عوامله ( بعد رفعه الى قوى ) لا يوجد بينهم 7
وهذا معناه انه يقبل عددا ما ( صحيح ) القسمة
على 7 اذا ما جمع ارقامه بعد ضرب الآحاد فى (3)^0
وضرب العشرات فى 3 ، وضرب المئات فى (3)² ... وهكذا
كل هذا المجموع يقبل القسمة على 3 .. لكن الا ترى
انها طريقة بطيئة نسبياً ؟؟
نفرض ان العدد الذى يقبل القسمة على 7 هو :

ع =  أ₀+أ₁ (10)...+ أر (10)^ر

بأخذ 10 عامل مشترك من الطرف الايسر ..

ع =  10[أ₁+...+ أر (10)^ر-1] + أ₀

بضرب الطرفين فى -2  ...

-2ع = -20 [أ₁+...+ أر (10)^ر-1] - 2أ₀

بطرح :  [أ₁+...+ أر (10)^ر-1] ثم جمعه ..

-2ع = -21[أ₁+...+ أر (10)^ر-1] +[أ₁+...+ أر (10)^ر-1] - 2أ₀

ولكن ع تقبل القسمة على 7 وهذا بدوره يؤدى الى
ان -2ع ايضاً تقبل القسمة على 7  .. وكذلك الطرف
الايسر يقبل القسمة على 7 ، ولكن -21 من مضاعفات 7
وهذا معناه ان :[أ₁+...+ أر (10)^ر-1] - 2أ₀

يقبل القسمة على 7 ايضاً ، ولكن ما هو :
[أ₁+...+ أر (10)^ر-1]

هذا هو العدد نفسه بعد حذف الآحاد منه
بينما : - 2أ₀ = - ضعف الآحاد  .. بإختصار

يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان مجموع
سالب ضعف الآحاد الى العدد الأصلى ( بعد حذف الآحاد )
يقبل القسمة على 7 :

ملحوظة : يمكن تكرار الخوارزمية للوصول الى الهدف :-

مثال1) 49 تقبل القسمة على 7 لأن :

4 - (9×2) = -14  تقبل القسمة على 7

(( طبعاً هذه اعداد صغيرة ومن المعلوم انها تقبل
القسمة على 7 بدون اختبار حتى ))

مثال 2)  هل   32123  يقبل القسمة على 7 ؟؟

3212 - 6 = 3206

نلاحظ ان هذه الخطو لم تبين لنا ايضاً العدد يقبل القسمة
على 7 اما لا (( ببساطة ان العدد مازال كبير نسبياً ))
لذلك نكرر نفس الخطوات الى ان تأتى عند قيمة تعلم
انها تقبل القسمة على 7  ... تابع


320 - 12 = 308

30 - 16 = 14  ولكن 14 تقبل القسمة على 7

اذاً، وبعد تكرار الخوارزمية ثلاث مرات وصلنا الى ان :
32123 يقبل القسمة على 7 بدون باقٍ .


► بصفة عامة نريد ذكر التالى◄


اولاً : ►قابلية القسمة على 2 ◄
) يقبل عدد ما القسمة على 2 اذا كان آحاده يقبل
 القسمة على 2 .

ثانياً : ►قابلية القسمة على 3◄
 يقبل عدد ما القسمة على 3 اذا كان مجموع
 أرقامه يقبل القسمة على 3 .

ثالثاً : ►قابلية القسمة على 4 ◄
 يقبل عدد ما القسمة على 4 اذا كان
مجموع كلاً من آحاده وضعف عشراته يقبل القسمة على 4 .

او : يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان
 العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4 .

رابعاً : يقبل عدد ما القسمة على خمسة اذا كان آحاده 0 او 5    .
خامساً : يقبل عدد ما القسمة على 6 اذا كان يقبل القسمة على
2 ، 3 معاً .

سادساً : ►قابلية القسمة على سبعة◄

يقبل عدد ما القسمة على 7 اذا كان مجموع
سالب ضعف الآحاد الى العدد الأصلى ( بعد حذف الآحاد )
يقبل القسمة على 7 :

سابعاً : ►قابلية القسمة على 8 ◄
يقبل عدد ما القسمة على 8 إذا كان
( الآحاد + 2 × العشرات + 4 × المئات ) يقبل القسمة على 8

ثامناً : ►قابلية القسمة  على 9 ◄
 يقبل عدد ما القسمة على 9 اذا كانت مجموع
ارقامه تقبل القسمة على 9 .


تاسعاً : ►قابلية القسمة على 11 ◄
 يقبل عدد ما القسمة على 11 اذا كانت مجموع
ارقامه ( بإشارات مختلفة ) تقبل القسمة على 11 .

وايضاً : يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية
 ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )

عاشراً : ►قابلية القسمة على ضرب عددين أوليين فيما بينهما ◄

يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان
 يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24  يقبل القسمة على 2 , 3     إذن 24  يقبل القسمة على 6
 45   يقبل القسمة على 5 , 3     إذن 45  يقبل القسمة على 15

إذا كان العدد يقبل القسمة على 3 و 4  فإنه يقبل القسمة على  12

إذا كان العدد يقبل القسمة على 2 و 9  فإنه يقبل القسمة على 18

وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى
 بإتباع القاعدة السابقة

ملاحظة: ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لا يعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة
 على 8 لأن 2 ، 4 غير أوليين فيما بينهما


11 )  ►قابلية القسمة على 25 ◄
 يقبل عدد ما القسمة على 25 اذا كان آحاده + 5×( عشراته )
يقبل القسمة على 5  .
او :
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون
 من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25  أو كان
 كلاً من رقمي الآحاد والعشرات صفراً .

►قابلية القسمة على 13◄        

يقبل عدد ما القسمة على 13 اذا تحقق
 ب  -  9( آحاده ) يقبل القسمة على 13
والأسهل من ذلك هو : يقبل عدد ما القسمة على
 13 إذا كان ب + 4(آحاده) يقبل  القسمة على 13

حيث ب : تعنى العدد نفسه بعد حذف الآحاد منه .

►قابلية القسمة على 17◄

يقبل عدد ما القسمة على 17 اذا كان
العدد ( بعد حذف آحاده) - 5×آحاده
يقبل القسمة على 17  .

مثال1) 2278 يقبل القسمة على 17 لأن :

227 - (5×8) = 187  وبتكرار الخوارزمية مرة ثانية

18 - (7×5) = -17   وهو المطلوب .

►قابلية القسمة على 19◄

يقبل عدد ما القسمة على 19 اذا كان :
العدد الأصلى ( بعد حذف الآحاد) + 2×آحاده
يقبل القسمة على 19 :
لاحظ : انها حالة تشبه قابلية القسمة على 7 ايضاً
لكن الإشارة هنا  ( + ) فقط .

مثال 1) 323 تقبل القسمة على 19 لأن :

32 + 6 = 38 = 2×19

مثال2) 976  لا تقبل القسمة على 19 لأن :

97 + 12 = 109  بتكرار الخوارزمية مرة ثانية

10 + 18 = 28 لا تقبل القسمة على 19 .

►قابلية القسمة على 23◄

يقبل عدد ما القسمة على 23 اذا كان :
العدد (بعد حذف الآحاد) + 7×آحاد
يقبل القسمة على 23 .

مثال) 13754  يقبل القسمة على 23 لأن :

1375 + (4×7) = 1403 ، بالتكرار مرة ثانية

140 + (3×7) = 161 ، بالتكرار مرة ثالثة ..

16 + (1×7) = 23

لذلك العدد الأصلى : 13754 يقبل القسمة على 7 .

► قابلية القسمة على 29◄

يقبل عدد ما القسمة على 29 اذا تحقق :
العدد (بعد حذف الآحاد) + 3×الآحاد
يقبل القسمة على 29   .

مثال) 17023  يقبل القسمة على 23 لأن :

1702 + (3×3) = 1711 ، بالتكرار مرة ثانية

171 + 3 = 174  بالتكرار مرة ثالثة ..

17 + (3×4) = 29

►قابلية القسمة على 31◄
يقبل عدد ما القسمة على 31 اذاً تحقق :
العدد (بعد حذف الآحاد) - 3×الآحاد
يقبل القسمة على 31  .

مثال) 216597  يقبل القسمة على 31 لأن :

21659 - (3×7) = 21638  بالتكرار مرة ثانية

2163 - (3×8) = 2139 بالتكرار مرة ثالثة ..

213 - (3×9) = 186  بالتكرار مرة رابعة ..

18 - (3×6) = 0  ، ولأن الصفر يقبل القسمة على 31

لذلك العدد الأصلى : 216597  يقبل القسمة على 31

►قابلية القسمة على 37◄

يقبل عدد ما القسمة على 37 اذا تحقق :
العدد (بعد حذف آحاده) - 11×آحاده
يقبل القسمة على 37  .

مثال : 24346  يقبل القسمة على 37  لأن :

2434 - (11×6) = 2368  بالتكرار مرة ثانية

236 - (8×11) = 148  بالتكرار مرة ثالثة..

14 - (8×11) = -74 = -2×37

►قابلية القسمة على 41◄
يقبل عدد ما القسمة على 41 اذا تحقق :
العدد (بعد حذف آحاده) - 4×آحاده
يقبل القسمة على 41 .

مثال : 28167  يقبل القسمة على 41 لأن ..

2816 - (4×7) = 2788  ، بالتكرار مرة ثانية

278 - (4×8) = 246  ، بالتكرار مرة ثالثة ..

24 - (6×4) = 0

►قابلية القسمة على 43◄
يقبل عدد ما القسمة على 43 اذا تحقق :
العدد(بعد حذف آحاده) + 13×آحاده
يقبل القسمة على 43 .

مثال:) 30014  يقبل القسمة على 43 لأن :

3001 + (4×13) = 3053  بالتكرار مرة ثانية..

305 + (3×13) = 344  بالتكرار مرة ثالثة ..

34 + (4×13) = 86 = 2(43)

اى انها من مضاعفات 43 ، وبما انها من مضاعفات
43 اذاً تقبل القسمة عليها ..

►قابلية القسمة على 47◄
يقبل عدد ما القسمة على 47 اذاً تحقق :
العدد (بعد حذف آحاده) - 14× آحاده
يقبل القسمة على على 47 .

مثال ) 44509  يقبل القسمة على 47 لأن :

4450 - (9×14) = 4324 ، بالتكرار مرة ثانية..

432 - (4×14) = 376  ، بالتكرارة مرة ثالثة ..

37 - (6×14) = -47   ( وهو المطلوب )


░ مثال آخير يضم بعض افكار ما سبق ░

بين ان : 691845  يقبل القسمة على 105

افضل طريقة من وجهة نظرى هى التحليل
لكن احياناً عندما تكون سريع فى اختبار
قابلية القسمة فإن الطريقة الثانية تكون
مناسبة لك .. الآن نريد اختبار القسمة
على 105 .. ولكن 105 ليس عدد أولى
بتحليل 105 الى عواملها الأولية ..

105 = 3×5×7

اذاً كأن السؤال هو : بين ان :691845
يقبل القسمة على 3 ، 5 ، 7  معاً .

العدد : 691845 يقبل القسمة على 3 لأن
مجوع الأرقامه تقبل القسمة على 3 .

العدد : 691845 يقبل القسمة على 5 لأن آحاده 5 .

العدد : 691845 يقبل القسمة على 7 لأن :

69184 - (5×2) = 69174  بالتكرار مرة ثانية ..

6917 - (4×2) = 6909  بالتكرار مرة ثالثة ..

690 - 18 = 672  بالتكرار مرة رابعة ..

67 - 4 = 63  بالفعل تقبل القسمة على 7

لاحظ : 63 ÷ 7 = 9


اذاً : العدد 691845 يقبل القسمة على 105  .



يجذر الإشارة الى انه عند اختبار قابلية القسمة على 7
للأعداد الكبيرة حيث يصعب تكرار الخوارزمية مثلاً 17 ، او 20
او 30 او 50 مرة ..... الخ

وهنا نشير الى مجموع باسكال، وكمثال تطبيقى

اثبت ان العدد : 2739873661  يقبل القسمة على 7

سير العمليات يتطلب من ان تقوم بجمع هذه الأرقام
جميعاً .. لكن بشرط .. ماهو ؟؟
بعد ضرب الآحاد فى 1 ، العشرات فى 3 ، المئات فى 2
ثم تكرر نفس الخطوات مع الثلاثة خانات التى تليها
لكن بإشارة مخالفة .. يعنى - الألوف - 3× عشرات الألوف
- 2 × مئات الاولف .. ثم تكرر نفس الخطوات مع الثلاث
خانات التى تليها لكن بإشارة (+) ... وهكذا الى ان تأتى
بآخر رقم على يسار العدد .. ثم اجمع كل هذه العمليات
بحيث اذا كان المجموع يقبل القسمة على 7 كان العدد
الأصلى يقبل القسمة كذلك على 7 .

2739873661      (( رتب حلولك فى اقواس جيداً ))

(1+ 3×6 + 2×6) - (3 + 3×7+ 2×8)
+ (9 + 3×3 + 2×7) -2

= 21   يقبل القسمة على 7  .. اذاً

2739873661 يقبل القسمة على 7 بدون باقٍ .

► تفسير الطريقة◄

نفرض ع عدد صحيح بحيث ان :

ع = أ₀ + أ₁ (10)¹ + أ₂ (10)² + ... + أر (10)^ر

ثم ندرس انظمة بواقى قوى العدد عشرة .

      1    ≡  1               (مود 7)
      10  ≡  3               (مود 7)
  (10)²  ≡  2               (مود 7)
  (10)³  ≡  -1              (مود 7)
  (10)^4 ≡ -3              (مود 7)
  (10)^5 ≡ -2              (مود 7)
  (10)^6 ≡ 1               (مود 7)
  (10)^7 ≡ 3              (مود 7)
  (10)^8 ≡ 2              (مو9 7)

.
.
.
وهكذا استمر الى مالانهاية لتجد انك امام متتابعة
تكرر نفسها كل ثلاث خطوات على التوالى
1
3
2
ثم
-1
-3
-2

واذا ما اخذنا سالب واحد عامل مشترك يتبين ان
الإشارة ما بين الاقوس فقط تتغير هكذا + - + - + ....

للمزيد