اوجد قانون عام لحساب عدد مثلثات اى مثلث من هذا النوع

مجموع المثلثات عبارة عن مجموع متتابعتين حسابيتين .
الأولى : تعبر عن عدد المثلثات المعدولة .
الثانية : تعبر عن عدد المثلثات المقلوبة .

الآولى =  4 + 3 + 2 + 1

الثانية = 3 + 2 + 1

مجموع مثلثات المثلث = مجموع المتتابعتين معاً .


=   4 + 3 + 2 + 1   +   3 + 2 + 1

الآن نجمع الحدود المتشابهة فنلاحظ ان :

3 + 2 + 1   مكررة مرتين .. اذاً


=  4  + 2(1 + 2 + 3)  = 16 مثلث .

نستطيع ان نقول ان 4 = عدد المثلثات المعدولة فى القاعدة .
فنلاحظ دائماً ان عدد المثلثات المقلوبة فى القاعدة اقبل منها بواحد .

الآن نفرض فى مثلث ما ان عدد المثلثات المقلوبة فى القاعدة = ن مثلث
فيكون بذلك عدد المثلثات المعدولة = (ن+1)  مثلث

فنجد ان عدد مثلثات اى مثلث :


= (ن+1) + 2(مجموع متتابعة حسابية من 1 الى ن)

ملحوظة كما هو ملاحظ ان المتتابعة اساسها = 1

                ن(ن+1)
مجـ(ن) = ــــــــــــــــــــــ
                    2

اذاً القانون العام اصبح :

                     ن(ن+1)
= (ن+1) + 2×ــــــــــــــــــــــ
                         2


= (ن+1) + ن(ن+1)    بأخذ (ن+1) عامل مشترك .


= (ن+1)(ن+1)  = (ن+1)²


الإستنتاج : القانون العام لحساب عدد مثلثات اى مثلث
من هذا النوع :

= (ن+1)²   

حيث  ن = عدد المثلثات المقلوبة فى القاعدة .


مثال : بالنسبة للشكل فى الصورة فإن عدد المثلثات المقلوبة
فى القاعدة = 3

اذاً عدد جميع المثلثات = (3 + 1)² = (4)² = 16 مثلث

هناك ايضاً مطلوب آخر وهو ايجاد القانون العام لحساب المثلثات المنفردة السابقة
+ المثلثات المتداخلة با فيها المثلث الرئيسى .

تكملة للسؤال : اوجدنا قانون عام لعدد المثلثات المنفردة
وهو عدد المثلثات المنفردة = (ن+1)²
حيث ن = عدد المثلثات المنفردة المقلوبة فى القاعدة فقط .
مع تطلع المثلثات المتداخلة نجد ان القاعدة لها ثلاث مثلثات
متداخلة بينما القاعدة التى تليها لها مثلثين متداخلين، ثم
القاعدة التى فى أعلى المثلث لها مثلث واحد فقط ، واخيرا
المثلث نفسه يعتبر ضمن العد .

فنجد ان عدد المثلثات المتداخلة =

1  + 1 + 2 + 3

حيث 1 هو المثلث الرئيسى ، 1 ، 2 ، 3 باقى المثلثات المتداخلة .
اذاً عدد المثلثات المتداخلة (بدون المثلث الرئيسى ) عبارة عن
مجموع متتابعة حسابية حدها الأول = 1  ، اساسها = 1
حدها الأخير = عدد الحدود = 3 .
اذاً العلاقة التى تعين المثلثات المتداخلة بما فيهم المثلث الأساسى .

                ن(ن+1)
مجـ(ن) = ـــــــــــــــــــــــ + 1
                    2

الآن نقوم بجمعها مع العلاقة التى استنتجناها سابقاً ..


 ن(ن+1)
ــــــــــــــــــــ + (ن+1)² + 1
     2

    2(ن+1)² + ن(ن+1)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1
              2

وهذا هو القانون العام الذى يحدد عدد المثلثات المكونة للمثلث
بما فيهم المثلثات المتداخلة، والمثلث الرئيسى ايضاً بدلالة
عدد المثلثات المقلوبة فى القاعدة ( المثلثات المنفردة )

بالنسبة لمثالنا فإننا نضع  ن = 3   فى العلاقة السابقة .


    2(3+1)² + 3(3+1)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ + 1  = 23 مثلث
              2

ملحوظة نستطيع تبسيط القانون هكذا .. بتوحيد المقام واخد عامل مشترك ::



2(ن+1)² + ن(ن+1)  + 2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
              2


    (ن+1)(2ن+2+ن) + 2          (ن+1)(3ن+2) +2
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    
                 2                                 2

ويمكن ايضاً وضعه فى صورة أخرى بدلالة المثلثات الغير مقلوبة فى القاعدة
عن طريق تحويل ن+1  الى ن

    ن (3ن - 1) + 2    
= ـــــــــــــــــــــــــــ     فعند وضعك ن = 4  تحصل على المطلوب               

            2     

لكل ان تستخدم ما يحلو لك، ولو انى ارى ايجاد المثلثات عن طريق عدد
المثلثات المعتدلة فى القاعدة يكون افضل  ...                

♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
ايجاد جميع المثلثات المتضمنة فى الشكل
------------------------------------------------------

ليكن ن = عدد المثلثات المعدولة فى القاعدة، وهى مثلاً
فى مثالنا هنا 4 .

فنجد عدد جميع المثلثات  (العادية او المعدولة)
تتخذ هذا الشكل المدرج

1 + 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3
1 + 2
1

= 20

نضيف اليهم عدد المثلثات المقلوبة (المستقلة) = 6
ومن ثم نضيف المثلث المقلوب الذى يتوسط المثلث الكبير
فيتكون لدينا 20 + 6 + 1 = 27

وفى هذا السؤال سأضع ن = عدد المثلثات الغير مقلوبة فى القاعدة .

لذلك اعتقد اننا سنصنع الآتى ...

ليكن ن = عدد المثلثات المعدولة (فى القاعدة)

أولاً حساب المثلثات المعدولة ..

1 + 2 + 3 + .... + ن
1 + 2 + 3 + .... + (ن-1)
1 + 2 + 3 + .... + (ن-2)
.
.
1

= 1(ن) + 2(ن-1) + 3(ن-2) + ... + ن(ن - (ن-1))

= ن + 2ن + 3ن + ... + ن² - [2(1) + 3(2) + 4(3) + 5(4) + ... + ن(ن-1)]

                                            1×2       2×3       4×5              ن(ن-1)
= ن(1 + 2 + 3 + .... + ن) - 2[ ــــــــــــ + ـــــــــ + ـــــــــــ + .... + ـــــــــــ]
                                              2          2           2                   2


    ن²(ن+1)             1×2       2×3       4×5             ن(ن-1)
= ــــــــــــــــــــ - 2[ ــــــــــــ + ـــــــــ + ـــــــــــ + .... + ـــــــــــ]
         2                    2          2           2                   2

وكما نلاحظ فإن ما داخل [  ] عبارة عن مجموع المتتابعات التى نريدها بالاساس
منقوص منها متتابعة المثلثات (الغير مقلوبة)

                                                  ن(ن+1)
عدد المثلثات الغير مقلوبة (المستقلة) = ـــــــــــــــ
                                                      2

لكن عدد جميع المثلثات (الغير مقلوبة) = س    ... اذاً

         ن²(ن+1)                  ن(ن+1)
س = ــــــــــــــــــــ - 2 [س - ــــــــــــــــ ]
              2                           2

لتسهيل الحساب نضع المجموع 1 + 2 + ... + ن = ك

س = ن ك - 2(س - ك)  ومنها س = ن ك - 2س + 2ك

اى ان : 3س = ن ك + 2ك  ومنها  3س = (ن+2) × ك

         (ن+2) × ك
س = ــــــــــــــــــــ       بالتعويض عن قيمة ك ...
               3

          (ن+2)          ن(ن+1)       ن(ن+1)(ن+2)
س = ــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = ق[(ن+2) ، 3]
             3                 2                    6

ثانياً ايجاد عدد المثلثات المقلوبة، والتى من غير المناسب ملاحظتها
فى مثالنا فقط (مع التعميم) فلكى تفهم ما هو مكتوب لابد ان ترسم
مثلث آخر اكبر من هذا، وبالتأكيد يحتوى على مثلثات أكثر .. ولن اخوص
فى تفاصيل عدد المثلثات فما اكتبه غير  مفيد لك الا اذا جربت بنفسك
ذلك .. ولهذا توصلت الى ان عدد جميع المثلثات المقلوبة فى حالة
كانت ن = عدد فردى تتعين من خلال القانون


     (ن-1)(ن+1) (2ن+3)
 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ              ***
               24

وبجمع جميع المثلثات نكون بذلك قد حصلنا على المجموع الكلى ...



     (ن-1)(ن+1) (2ن+3)         4ن(ن+1)(ن+2)      (ن+1)[(ن-1)(2ن+3) + 4ن(ن+2)]
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   + ـــــــــــــــــــــــــــــ  = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    
               24                            24                                   24


   (ن+1)[2ن² + ن - 3 + 4ن² + 8ن]       (ن+1)(6ن² + 9ن - 3)
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       24                                        24

     (ن+1)(2ن² + 3ن - 1)        2ن³ + 3ن² - ن + 2ن² + 3ن - 1
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               8                                          8

      2ن³ + 5ن² + 2ن - 1
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
               8

فى حالة ن عدد فردى

ولكن لوحظ انه فى حالة ن عدد زوجى فإن اللقانون يختلف فيكون ..

     2ن³ + 5ن² + 2ن
= ــــــــــــــــــــــــــــــــ
              8

حيث ن = عدد جميع المثلثات المعتدلة (فى القاعدة)