مقدمة بسيطة عن معدل التغير والمشتقة الأولى للدالة

y = mx + b

معادلة من الدرجة الأولى ميلها = m

الآن مشتقة mx = m
مشتقة b = صفر لأنها ثابت .

الآن دعك من الدرس المشتقة، وتخيل معى عندما اقول
لك ما هو محيط المربع ؟ ستكون الإجابة وما هو طول ضلعه ؟
اذاً الداعى الى تغيير محيط المربع هو طول ضلعه ففرضنا ان
طول ضلع مربع ما x  وان المحيط y

الآن :  y = 4x   لاحظ هذه  المعادلة تعبر عن محيط اى مربع

فإذا وضعنا طول ضلع المربع 1 فإننا نضع x = 1

y = 4(1)  = 4

الآن دالة الـ 1  تساوى 4
لأننا نعلم ان محيط المربع الذى طول ضلعه 1 هو 4 .
الآن ضع x = 2

y = 4(2) = 8

عندما وضعنا x = 2  ( يعنى زودنا من x ) بالتأكيد زاد المحيط

نستنتج ان علاقة محيط المربع بطول ضلعه هى علاقة طردية
وهذه حقيقة بحيث كلما زاد طول ضلعه كلما زاد محيطه .

ولكن هل سألت نفسك ما هى مقدار الزيادة ؟
بمعنى آخر ما الفرق بين المربع الذى طول ضلعه
1 والمربع الذى طول ضلعه 2 والمربع الذى طول ضلعه 3
والمربع الذى طولع ضلعه جذر2  مثلاً .... الخ  ؟

لاحظ ان فى العبارة السابقة y = 4x
تقرأ : محيط المربع يساوى اربع اضعاف طول ضلعه .
اذاً مقدار التغير = 4    ( او يسمى الميل )
وهذا هو ما يفسر ان مشتقة عدد ما مضروب فى x
فإن مشتقته تساوى معامل x .

( طبعاً هناك عدة قوانين لإثبات لذلك .. لكن لا نريد ان نخوض
كثيراً فى هذه المواضيع )

فقط اريدك ان تعرف ان مشتقة عدد حقيقى مضروب فى x
تساوى العدد نفسه، وان مشتقة الثابت = 0

y = 4x

y' = 4

اى ان مشتقة محيط المربع = 4

لكن ماذا لو اخذنا مثلاً دالو مساحة المربع وهى :

y = x²  حيث x طول ضلعه .

ضع x = 1  تجد ان y = 1 
ضع x = 2  تجد ان y = 4
ضع x = 3  تجد ان y = 9
ضع x = 4  تجد ان y = 16

هل تستطيع تقدير النسبة ؟؟
بمعنى هل الفرق بين المساحة والتى قبلها متساوية؟
بالتأكيد لا :

مثال 4 - 1  لا تساوى 9 - 4  وكذا لا تساوى 16 - 9  .. وهكذا

وعند رسمك للدالة التربيعية y = x² فإنها تأخذ شكل منحنى
مفتوح لأعلى رأسه نقطة الأصل .. الآن

             فرق احداثيات y
الميل = ـــــــــــــــــــــــــــــ
             فرق احداثيات x

لكل نقتطين (x , y)  , (x1 , y 1)

                  y  - y1
 الميل  =  ـــــــــــــــــــــــ
                  x - x1

ولكن هذا ميل الدالة الخطية
 فقط ( يعنى دالة من الدرجة الأولى)

الآخ اختر نقتطين قريبتين جداً على منحنى الدالة x²
بحيث ان الفرق بينهما يؤول الى الصفر ، نأخذ x1 , x
قريبتين جداً بحيث x - x1 = h
حيث h تؤول الى الصفر .

ومنها ينتج ان   x = x1+h

lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h

هذا هو قانون معدل التغير فإذا اردنا ايجاد مشتقة x²
فإننا نوجد f(x+h)   ..l

f(x+h) = (x+h)² = x² + 2hx + h²

ثم ...

f(x+h) - f(x) =  x² + 2hx + h² - x²


f(x+h) - f(x)  = 2hx + h²

 f(x+h) - f(x)  = h(2x+h)   ..l

ثم ..


lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h = h(2x+h)/h

الآن اتخزل العامل الصفرى h


lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h = (2x+h)   ..l

الآن ضع h = 0 

تجد ان النتيجة 2x

اذاً مشتقة x²  = 2x

وبصفة عامة نذكر ما يلى .

مشتقة x^n  = nx^(n-1)      ..l

اى نزل الأس واطرح منه 1  .

نذكر ايضاً مشتقة دالة مرفوعة لأس ..
لتكن f دالة بحيث ان :

d/dx  [f(x)]^n = n.f(x).f'(x)   ..l

يعنى مشتقة دالة مرفوعة لأس هى
مشتقة القوس فى مشتقة ما داخل
القوس ( الدالة )  .

مثال :

f(x) = (3x - 1)²

عند اشتقاق هذه الدالة فإننا نشتق القوس
هكذا :  (3x - 1) مضروب فى 2
ثم نشتق ما داخل القوس وهو 3
اذاً:

f'(x) = 2(3x - 1) . 3 

f'(x)  = 6(3x - 1)     ..l


قاعدة حاصل الضرب ..

لتكن الدالة f عبارة عن حاصل ضرب دلتين u  , v
فإن مشتقة f تساوى u' v + v' u

يعنى مشتقة الأول×الثانى + مشتقة الثانى×الأول

مثال :

f(x) = x² (x+3)³

هنا تستطيع ان تشف القوس بذات الحدين
وان توزع x² على القوس وتوجد المشتقة
او الأفضل هو استعمال قاعدة product rule
قاعدة حاصل الضرب .

f'(x) = 2x(x+3)³ + 3(x+3)² x²

وهكذا تم ايجاد المشتقة فقط تستطيع ترتيب
الحدود تكون المشتقة فى ابسط صورة .


قاعدة حاصل القسمة :quotient rule

لتكن دالة ما f عبارة عن حاصل قسمة دلتين u , v
فإن مشتقة f تساوى u' v - v' u /v²

مشتقة البسط×المقام - مشتقة المقام×البسط
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       مربع المقام


مثال : f(x) = (2x² + 3x - 1)/(x+1)   ..l

هناك تستطيع التحليل والبسيط ( ان كان جائز)
او مباشرة ً استعمل قاعدة القسمة .

f'(x) =[ (4x+3)(x+1) -  (2x² + 3x - 1)]/(x+1)²


مشتقة البسط = 4x + 3
مشتقة المقام = 1

وبناء على هذا تم الحل .

هناك ايضاً عدة قوانين للإشتقاق كإشتقاق الدوال المثلثية
واشتقاق الدوال الأسية واللوغاريتمية، وغيرها حاول ان تبحث
عنها وراجعها مراجعة سليمة وصحيحة .