عين النقاط الحرجة ، والقيم القصوى للدوال الآتية

السؤال الأول : د(س)=جذر(س² - 1)


السؤال الثانى : اذا كانت د(2) قيمة صغرى للدالة د(س)=س² -ك س + 5
 على الفترة [-1 ، 5] فإن ك =.......؟؟


السؤال الثالث : عين القيم القصوى للدالة : 
                س+3                1
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــ
                   4                 س

 السؤال الأول :

د(س)  =جذر(س² - 1)

                 2س
دَ(س) = ـــــــــــــــــــــــــــ = 0
           2 جذر(س² - 1)

عندما 2س = 0  ، ومنها س = 0

عندما جذر(س² - 1 ) = 0 فإن

س² = 1  ، ومنها س = 1   ، س = -1

س = {1 ، -1}  بالتعويض فى الدالة  الأصلية


اذاً الحل الصحيح هو ب


░ السؤال الثانى ░

د(س) = س² - ك س + 5  على الفترة [-1 ، 5]

نوجد المشتقة الأولى للدالة حيث  ك ثابت ..

دَ(س) = 2س - ك  = 0

اذاً  2س = ك  ، ومنها س = ½ك نقطة حرجة للدالة

الآن نوجد المشتقة الثانية :

دً(س) = 2

دً(2) = 2 ايضاً بما انها موجبة اذاً 2 قيمة صغر
          للدالة ، بالتعويض بـ ½ ك ؟؟

دً(½ ك) = قيمة صغرى ايضاً ؟؟؟

بالنظر الى الدالة نجد انها دالة تربيعية مفتوحة
لأعلى ( لأن معامل س موجب ) اذاً تحتوى
على قيمة صغرى واحدة فقط عند رأس المنحنى
وهنا نوجد رأس المنحنى :

                          - معامل س
الإحداثى السينى = ــــــــــــــــــــــ
                          2 معامل س²

           ك
= ـــــــــــــــــــــــ  = قيمة صغرى للدالة
           2

ولكن القيمة الصغرى عندما س = 2

           ك
اذاً : ــــــــــــــــ = 2
          2

ومنها  ك = 4


░ السؤال الثالث ░


                س+3                1
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــ
                   4                  س


               1          -1
دَ(س) = ـــــــــــــ + ـــــــــــــ = 0   ومنها نحصل على
               4          س²

     1            1
ـــــــــــــ = ـــــــــــــ
  س²            4


اذاً  :  س² = 4   ، ومنها س = ± 2

وبعد هذا هناك اصفار لمقام الدالة : س² = 0 ، ومنها س = 0
مرفوض لأنها ليست ضمن الفترة [1،3]
وكذلك -2 مرفوض لأنها ليست ضمن مجال نفس الفرة .

اذاً : س = 2  نقطة حرجة للدالة فى الفترة  [1،3]


الآن نوجد المشتقة الثانية :

                  صفر(س²) - 2س(-1)      
دً(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                          (س²)²

             2س                     2
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ
            س^4                  س³

ندرسها عندما س =  2

               2             1
دً(2) = ــــــــــــــــ = ـــــــــــ  قيمة صغرى محلية لأنها موجبة .
             (2)³          4



ولكن طالما حدد الدالة فى فترة اذاً ينبغى التعويض ببداية الفترة
ونهايتها ، وكذلك التعويض  بالقيمة 2  اى التعويض فى الدالة
بالقيم   {1 ، 2 ، 3}

بالتعويض فى الدالة :

                س+3                1
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــ
                   4                  س


د(1) =  2

د(2) =  1.75

د(3) = 1.83333333  بالتقريب

اكبرهم قيمة عظمى محلية ، واصغرهم قيمة صغرى محلية فى نفس الفترة .

اذاً : س = 1 قيمة عظمى محلية    ، س = 2 قيمة صغرى محلية .

►بعض الملاحظات :◄

السؤال الأول :

                                مشتقة ما داخل الجذر

مشتقة الجذر التربيعى = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

                                   2×الجذر نفسه

لذلك فإن : مشتقة : جذر(س² - 1)

              2س

= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ

       2 جذر(س² - 1)

            س

= ــــــــــــــــــــــــــــ

      جذر(س² - 1)

اللآن بمساواه كلاً من البسط ، والمقام بصفر

لإيجاد النقاط الحرجة .. البسط س = 0  

المقام = جذر(س² - 1) = 0

ومنها س² - 1 = 0  اذاً  س² = 0

س = ± 1

اذاً س = { ±1 ، 0 } نقاط حرجة للدالة .

►السؤال الثانى◄

يمكن حلة مباشرةً من خلال معرفتنا انها دالة

تربيعية معامل س² فيها موجب اذاً فتحة المنحنى

لأعلى .. يترتب لعيه ان رأس المنحنى لأسفل

ان ان احداثى رأس المنحنى = قيمة صغرى مطلقة .

وهنا قانون الإحداثى السينى لرأس المنحنى

            - معامل س

= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

           2  معامل س²

        - (-ك)                   ك

= ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ

          2×1                   2

ولكنه ذكر فى السؤال ان القيمة الصغرى = 2

            ك

اذاً : ـــــــــــــــ = 2      ، ومنها ك = 4

           2

السؤال الثالث : اظن قد غطيتنا معظم جوانبه ..