لماذا ندرس تقعر الدالة من المشتقة الثانية ؟

سؤالك أكثر من رائع وكنت انتظر ان يطرح احد
الأعضاء هذا السؤال :::::
اذا فهمت ما هو المعنى الهندسى للمشتقة الأولى
تكون بذلك اجبت على سؤالك :-

المعنى الهندسى للمشتقة الأولى :

هى الدالة التى نعبر بها عن قيم ميل المماس للدالة
(الأصلية) عند اى نقطة تقع عليها .

وما هى قيم ميل  المماس للدالة، هل ميل المماس للدالة
ثابت ؟

بالتأكيد لا والا لما خصصنا له دالة اصلاً، ولكن الدوال
الخطية ميلها ثابت : مثال : د(س) = 2س + 1
هذه الدالة ميلها ثابت دائماً = 2 ويمكن ان نقول
دَ(س) = 2  اى ان دالة ميل المماس دالة ثابتة
عند اى نقطة تقع على الخط المستقيم ..

الآن امسك مستطرتك وقبتها فى خط افقى وقولى
ما هو ميل المسطرة ؟؟

ستجيب وتقول لا ميل لها لأنها فى خط افقى، اى انها
لاتميل ولا لليسار ولا للمين ( تستطيع تقول انها على الحياد)

نقول على هذا الميل انه = 0
الميل الصفرى ( اى لا ميل )

الآن انحنى لمسطر قليلاً لأعلى، ولكن قبل ان تصنع هذا
ضع المستطرة فى مستوى افقى على مكتب ومن ثم
ابدأ برفع طرف المستطرة مع تثبيت الطرف الآخر بحيث
تكون قياس الزاوية بين المكتب والمسطرة زاوية ما بين
الصفر والـ 90 درجة ( اى انها زاوية حادة )، هل الميل الذى
تميل به المسطرة فى الوضع الأفقى ( زاوية  0 ) هو نفسه
الميل الذى تميل به المسطرة عند الزاوية 10 هو نفسه
الزاوية التى تميل بها المستطرة عند الزاوية 60 درجة بينها
وبين سطح المكتب ؟؟

بالتأكيد ستكون الإجابة بالنفى حتماً، بل ان الميل فى زيادة
كلما كانت الزاوية اكبر فى الفترة [0 ، 90 [
الآن اجعل المسطرة فى وضع رأسى ( اى الزاوية بينها
وبين سطح المكتب 90 ْ)  اذا كنت تعتقد ان هذا الميل
يساوى صفر فأنت مخطىء لأن الميل عندما كانت الزاوية
بين المسطرة وسطح المكتب 89.99999 كانت أكبر ما يمكن
لذلك يكاد يصل الى ملانهاية لذلك نقول على ميل المسطرة
فى الوضع الأفقى، والوضع الرأسى انها ميل (حرج ) للدالة

ثم ابدأ الآن بالميل العكسى (اى الذى اكبر من 90 درجة)
وهنا لكى نفرق بينه وبين الميل الموجب يأخذ نفس قيم
الميل الموجب لكن الإشارة سالبة ... بالنسبة لميل الخط
المستقيم فى الرياضيات هو :


                 مقدار تغير ص
الميل = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 مقدار تغير س

او فرق الصادات/فرق السينات

                                              المقابل
بعبارة أخرى ميل الخط المستقيم = ـــــــــــــــ
                                              المجاور

اى ان الميل = ظاهـ

حيث هـ قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم
مع الإتجاه الموجب لمحور السينات .

اعتبر كل ما سبق كان مقدمة عن متى يكون الميل
موجب ومتى يكون سالب .

الآن نأخذ الدالة د(س) = س²

د(س) = س³ - س     "1"

هذه الدالة ميلها غير ثابت عند كل نقطة
تقع عليها نظراً لأنها لا تشكل خط مستقيم
بل تشكل منحنى، هذا المنحنى ( وهذا يهمنى جداً )
هذا المنحنى نستطيع ان نقول له طرفين اما ان يكون
مفتوح لأعلى او مفتوح لأسفل، وله رأس تكون عنده
ميل المماس للدالة بصفر ، هذا الرأس بدوره ان يقسم
المنحنى الى قسين .. فإذا كان المنحنى مفتوح لأعلى 

دَ(س) = 3س² - 1    "2"

كان الشق الايسر من - ملانهاية الى رأس المنحنى
تناقصى، ومن رأس المنحنى الى موجب مالانهاية تزايدى
واذا كان المنحنى مفتوح لأسفل فعكس ذلك صحيح .

مثال : د(س) = س³ - س    " شكل 1 "

وبإيجاد المشتقة الأولى للدالة .

دَ(س) = 3س² - 1      " شكل 2 "



بمساواه المشتقة بصفر لإيجاد النقاط الحرجة .

3س² - 1 = 0  ومنها 3س² = 1

اذاً س = ±جذر(1\3)

الآن كل نفطة واقعة على  منحنى الدالة :
د(س) = س³ - 1  لها ميل مماس اما
ان يكون موجب او ان يكون سالب ، او يكون
صفر عندما س = ±جذر(1\3)

وقيم هذه المشتقات مأخوذة من الدالة
دَ(س) = 3س² - 1

اذاً كل نقطة تقع على منحنى الدالة
دَ(س) = 3س² - 1  هى ميل مماس
للدالة د(س) = س³ - س  عند نفس
النقطة التى تم التعويض بها .

الآن فى الدالة الأصيلة الميل يظل فى زيادة
من سالب مالانهاية الى اول نقطة حرجة وهى
 س = جذر(1\3)
ثم يظل فى نقصان من من هذه النقطة الى الصفر
وهكذا نجد ان هذه الفترة من ]-∞ ، 0 ] تشكل منحنى
اى ان الميل كان له اشارتين فقط على هذا المنحنى
وهو موجب او سالب، من جهة أخرى لو نظرت الى
دالة المشتقة الأولى فإن القيم الموجبة من 0 الى
س = جذر(1\3) ومن ثم سالبة من س = جذر(1\3)
الى س = 0

الإستنتاج : نصف منحنى من دالة المشتقة الأولى
عبر بالفعل عن جميع المشتقات الأولى للدالة
الأصلية عن اول منحنى .. تستطيع ان تقول

½  :   1

   ( بس متقولش كدا لحد ده خليه سر بينى وبينك )

نصف منحنى من المشتقة الأولى قد غطى بالفعل منحنى
بالكامل من الدالة الأصلية، فإذا اردنا ان نستهدق المنحنى
الآخر للدال الأصلية ( لاحظ انهم منحنيين ينفصلوا عند الصفر )
فإن قيم المشتقات الأولى لجميع النقاط الواقعة على المنحنى
الآخر قيمها اصلاً مأخوذة من دالة المشتقة الأولى من النصف
الثانى لمنحنى المشتقة الأولى .

الإستنتاج الأخير : رأس منحنى المشتقة الأولى هى
نقطة حرجة لهذه المشتقة وهى نقطة انعطاف للدالة
الأصلية .

ولكن رأس المنحنى كما اتفقنا هى قيمة حرجة للدالة
اى انك وبمساواه المشتقة الثانية بصفر لإيجاد النقاط
الحرجة والتى تمثل نقط انعطاف للدالة الأصلية .

المشتقة الثانية : دً(س) = 6س

بمساواه المشتقة الثانية بصفر لإيجاد نقط
الإنعطاف :

6س = 0   عندما س = 0 نقطة انعطاف للدالة الأصلية .


من أخرى ( بالمرة ) لماذا ندرس اختبار القيم القصوى
من المشتقة الثانية ايضاً ؟

لاحظ قلنا ان النقاط للحرجة للدالة الأصلية
هى عندما س = ±جذر(1\3)

والتى صورهم تختلف من معادلة الدالة الأصلية
الى معادلة ميل المماس ( المشتقة الأولى )

بما انهم نقاط حرجة اذا ً صورهم وبدون شك فى
المشتقة الأولى صفر   ( وهذا اكيد )

ولكن كيف نفرق بين الأولى والثانية
فالأولى س = جذر(1\3) صورتها صفر
والثانية س = - جذر(1\3) ايضاً وصرتها
صفر       .   "  شكل 2 "

بالنظر الى المشتقة الأولى _ شكل 2

تجد ان ميل المماس عندما س =  جذر(1\3) سالب
هذا النصف الذى اختبرنا فيه المنحنى فى الدالة الأصلية
الذى كان مفتوح لأسفل، وكان رأس المنحنى لأعلى .

كذلك اذا اختبرت ميل المماس للمشتقة الأولى
عندما س = -جذر(1\3) تجد ان موجب بالتأكيد
وكما اتفقنا فإن النصف الثانى كان يصف المشتقة
الأولى للمنحنى الثانى للدالة الأصلية .

الإستنتاج : ميل المماس للمشتقة الأولى هو نفس
التعبير للمشتقة الثانية .. يعنى ميل المماس لمشتقة
الأولى هو نفسه المشتقة الثانية .. لذلك ..

فى مثالنا : دً(س) = 6س

دً(- جذر(1\3)) = قيمة سالبة ( لا يهم ما هى )
المهم انها سالبة اذا ً  عندما س = جذر(1\3)
قيمة عظمى محلية للدالة  ..

دً(جذر(1\3)) = قيمة موجبة .

اذاً  عندما س = جذ(1\3) قيمة صغرى محلية للدالة .

للمزيد