طريقة جاوس جوردان لحل المصفوفات

ليكن :

4س - 3ص + 3ع = 1
 س + ص + ع = 5
-2س -3ص + ع = 7

ـــــــــــ هناك طريقة لحلها بطريقة كرامر،
 وايضاً بطريقة الحذف لجاوس والتى نحن بصددها ـــــــــــ

ضع معاملات الحدود فى مصفوفة ثم افصل بينهما بخط
واكتب مصفوفة الثوابت .. واستعمل العمليات على الصفوف
  row operation

  4    -3     3    |  1
  1     1     1    |  5
 -2    -3     1    |  7

اظن ليس هناك عصوبة فى ذلك :
لاحظ :

الصف الأول هو :   4    -3     3 
الصف الثانى هو:   1     1     1
الصف الثالث هو :  -2    -3     1

الثوابت هى :   1  ،  5   ، 7

الآن ماذا لو عدلنا من ترتيب الصفوف هل يحدث شىء ؟
اطلاقاً لا يحدث شىء .. مثل


  1    1      1    |  5
  4   -3     3     |  1
 -2    -3     1    |  7

حاول ان تجعل من ضرب ، وجمع المصفوفات خلايا صفرية

...................................................................
مثال 1)  حل هذا النظام بطريقة جاوس جوردان .

س - 2ص + 3ع = 7

2س + ص + ع  = 4

-3س + 2ص -2ع = -10

الآن نضع معاملات المتغيرات س ، ص ، ع فى مصفوفة
ومن ثم نمد خط فاصل ونكتب مصفوفة الثوابت .

 1    -2     3    |  7
 2     1     1    |  4
-3    2     -2    | -10

لاحظ _ سنرمز :
للصف الأول بالرمز ص1
والصف الثانى بالرمز ص2
والصف الثالث بالرمز ص3
...............................
وهنا قبل ان نبدأ فى شرح المثال نفترض انك اجريت
العمليات على مصفوفة ما ( غير هذه ) ثم اتخذت
هذا الشكل ::

 1     0    0     |  -8
 0     1    0     |  14
 0     0    1     |  3

لان لاحظ ( الواحدات ) تشكر قطر
وهذا معناه ان :

س = -8
ص = 14
ع = 3

بالعدوة الى مثالنا أعلاه .. [الحـــــــــــــــل]

 1    -2     3    |  7
 2     1     1    |  4
-3    2     -2    | -10

الآن فكر فى طريقة نجعل بها صف من صفوف
هذه المصفوفة تحتوى على صفر او صفرين
بحيث نستطيع ان نستنتج مجهول من الثلاث مجاهيل .
(( لاحظ فكر اولاً ولا تتسرع فى الكتابة ))

على اى حال اقترح عليك الآتى :

-2ص1 + ص2 ← ص2

اعنى بهذا : اضرب الصف الأول فى -2 واجمعه
 على الصف الثانى، وناتج الجمع ضعه فى الصف الثانى .
لتجد المصفوفة اصبحت بهذا الشكل :

 1    -2     3    |  7
 0     5    -5    | -10
-3    2     -2    | -10

لاحظ : اجعل نصب عينك على الهدف وهو جعل
المصفوفة تأخذ هذا الشكل :

 1  0  0
 0  1  0
 0  0  1

وتسمى هذه المصفوفة احياناًً بالقطرية .

الآن : 3ص1 + ص3 ← ص3

يعنى اضرب عناصر الصف الأول فى 3 واجمع عليه
عناصر الصف الثالث ، وناتج هذه العملية ضعه فى الصف
الثالث .. لتأخذ بعدها المصفوفة هذا الشكل :

 1    -2     3    |  7
 0     5    -5    | -10
 0    -4     7    | 11

(1\5)ص2 ← ص2 

يعنى اقسم الصف الثانى على 5

 1    -2     3    |  7
 0     1     -1   | -2
 0    -4     7    | 11

2ص2 + ص1 ←  ص1

اضرب الصف الثانى فى 2 واجمعه على الصف الأول
والصف الناتج عن الجمع ضعه فى الصف الأول .
(( لاحظ كل هذا يأتى بعد تفكيرك انت، وتستطيع ان
تحلها بطريقة مختلفة عن شخص الآخر ، فلا تلزم نفسك
بإتباع طريقة واحدة واسلوب واحد )) .. فقط ليكن الهدف هو
جعل المصفوفة على هذا الشكل :
 1  0  0
 0  1  0
 0  0  1

لنكمل ..

2ص2 + ص1 ←  ص1

 1     0      1   |  3
 0     1     -1   | -2
 0    -4     7    | 11

4ص2 + ص3 ← ص3

 1     0      1   |  3
 0     1     -1   | -2
 0     0     3    |  3


(1\3)ص3 ←  ص3

 1     0      1   |  3
 0     1     -1   | -2
 0     0      1   |  1

-3ص3 + ص1 ← ص1

 1     0      0   |  2
 0     1     -1   | -2
 0     0      1   |  1

ص3 + ص2 ← ص2

 1     0      0   |  2
 0     1      0   | -1
 0     0      1   |  1

الى هنا انتهت المسألة :

س = 2
ص = -1
 ع = 1

تستطلع ان تتحقق من هذه القيم بالتعويض فى
المعادلات الأصلية لهذه المصفوفة وهى :

س - 2ص + 3ع = 7

2س + ص + ع  = 4

-3س + 2ص -2ع = -10


ملحوظة أخيرة : احياناً يكون من الصعب جداً وضع
بل من المستحيل وضع المصفوفة على شكل مصفوفة
قطرية، لذلك ليس لمثل هذه المصفوفات حل، او لها عدد
لان نهائى من الحلول  وتستطيع ان تتعرف على هذا قبل
اجراء العمليات على المصفوفات بإختبار محدد المصفوفة :
اذا كان صفراً فهذا يدل على وجود تجانس فى المعادلات
ولا يمكن حلهم معاً، اما اذا كانت غير ذلك فللمعادلة
حل ان شاء الله :)


بالنسبة لمثالثنا فمحدد المصفوفة هو :


 1    -2     3   
 2     1     1  
-3    2     -2 


= 1(-4) + 2(-4 + 3) + 3(4+3) = 15