كيف نوجد مجال الدالة ؟

شكل "1" د(س) = س²

اولا ً : ░ ايجاد مجال الدالة بيانياً ( من الرسم ) ░

تعريف : مجال الدالة هندسياً هو الجزء المشغول من محور السينات .


مثال "1" عند رسم الدالة التربيعية د(س) = س²

كما فى المراجع ( شكل 1 )



فى الشكل نجد ان كل نقطة تقع على منحنى الدالة تقابلها
نقطة وحيدة ( ووحيدة فقط ) على محور السينات، ونلاحظ
ان منحنى الدالة ممتد الى أعلى ( الى مالانهاية )
وهذا يعنى ان كل نقطة تقابلها نقطة وحيدة على على محور
السينات .. تؤدى الى ان الدالة معرفة على جميع الأعداد
الحقيقية، اى ان مجالها هو ح .

مثال "2" عند رسم الدالة التكعيبية د(س) = س³

شكل"2" د(س) = س³

كما فى المراجع ( شكل 2 )

فنجد ايضاً ان كل نقطة تقع على منحنى الدالة اذا
اقطنا منها عامود على محور السينات فإن كل نقطة
تقابلها نقطة وحيدة على محور السينات الى مالانهاية
لذلك نقول ان ميل ال دالة التكعيبية
 معرفة على ح
(( أى على جميع الأعداد الحقيقية ))

                                                          1
مثال "3" عند رسم الدالة الكسرية د(س) = ـــــــــــ
                                                        س

شكل"3" د(س) = 1/س

كما فى المراجع ( شكل 3 )





فنجد ان كل نقطة تقع على منحنى تقابلها نقطة وحيدة
على مور السينات، ثم افترقت الدالة الى ( شطرين ) عند
الصفر .. ثم بقية الرسم فى الربع الثالث ايضاً كل
نقطة عليها تقابلها نقطة وحيدة على محور السينات

ولكن هذه الدالة غير معرفة عند الصفر كما يظهر فى الرسم
فإننا اذا وضعنا اصبع السبابة مثلاً عند نقطة الأصل ثم حاولنا
الطلوع الى أعلى فنجد ان الصفر ليس له صورة او ان
صورته تقترب من اللانهاية ( لكنها ليست صورة حقيقية )
كذلك اذا ما حاولنا النزول الى اسفل نجد ان الصفر ليس
له صورة ( على منحنى الدالة ) فقط نستطيع ان نقول
ان صورته تقترب من سالب ملانهاية ، كذا رأينا ان الصفر
له صورتان مقربتنا وهما موجب ملانهاية وسالب مالانهاية
(( لكنها ليست صورة فعلية لأن اللانهاية اصلاً ليست عدد حقيقى ))

اذاً نقول ان مجال هذه الدالة هو ح فرق الصفر وتكتب

ح - {0}

اى انها معرفة على جميع الأعداد الحقيقية فيما عدا الصفر .


مثال "4" عند رسم الدالة الجذرية د(س) = جذر(س)


كما فى المراجع ( شكل 4 )

شكل"4" د(س) = جذر(س)

نجد ان كل نقطة تقع على منحن الدالة ( فى الطرف الأيمن )
تقابلها نقطة وحيدة على محور السينات .. ولكن من الجهة
الأخرى ( الطرف الأيسر ) لا توجد نقاط للدالة تقابل محور
السينات .

لذلك نقول ان مجال هذه الدالة هو اى عدد موجب من 0 الى مالانهاية
وتكتب هكذا مجال الدالة = [0 ، ∞[

الصفر هنا مغلق ( لأنه ضمن مجال الدالة )
بينما ∞ فترة مفتوحة لأن ∞ ليست عدد حقيقى .



ثانياً : ░ ايجاد مجال الدالة جبرياً░

تعريف : مجال الدالة جبرياً هو جميع الفترات التى تكون فيها الدالة
معرفة .

مثال : اذا أخذنا مثال "1" ومثال "2" واردنا ان نوجد مجال الدالة جبرياً

د(س) = س²   بالتعويض فى الدالة بقيم محددة نلاحظ ان :

د(-5) = (-5)² = 25

د(-3) = (-3)² = 9

د(-1) = (-1)² = 1

د(0) = (0)² = 0

د(1) = (1)² = 1

د(3) = (3)² = 9

د(5) = (5)² = 25


وهكذا .. اذا استمرينا بالتعويض فنجد اننا بإستطاعتنا التعويض بأى
عدد حقيقى .. لذلك نقول ان مجال الدالة هو ح .

كذلك نفس الشىء بالنسبة للدالة د(س) = س³

يمكن التعويض فيها بأى عدد حقيقى أ مثلاً بحيث

د(أ) = أ³

لذلك مجال الدالة هو  ح .


وهنا نذكر نتيجة هامة جداً .. مجال الدالة د(س) = س^ن

حيث ن عدد طبيعى ( صحيح )       ..  هو   ح

اى ان مجال دالة عبارة عن س مرفوعة لأس صحيح ( مجالها ح )

استنتاج مباشر : الدوال كثيرات الحدود مجالها ايضاً ح .

الإثبات سهل جداً ، فقط بمعرفتنا ان الدالة يمكن كتابتها كمجموع دوال.

مثال د1(س) = س²    ، د2(س) = س³

د1 ، د2  هى اسماء ( مجردة ليس لها معنى سوى انها تميز دالة عن أخرى )

الآن نفرض ان مجموع د1  ، د2  هو  د

د(س) = س³ + س²

هكذا حصلنا على دالة عبارة عن مجموع دالة تربيعية وتكعيبية معاً .

ولكن مجال س²  هو ح   ومجال  س³  هو ح ايضاً

اذاً مجال س³ + س²  هو ح ايضاً .

نتيجة أخرى : د(س) = أ  مجالها ح لكل أ عدد حقيقى

وتسمى هذه بالدالة الثابتة .

مثال :  د(س) = 1

نلاحظ انه يمكن وضع الدالة هذه على الصورة د(س) = س^0

لذلك فإن اى عدد اس صفر (فيما عدا الصفر ) يساوى 1

لذلك نتعامل مع الدالة الثابتة على انها ضمن الدوال كثيرات الحدود .
ويكون مجالها هو ح .

ايضاً عند رسم الدالة د(س) = 1  تتعين فى رسمة خط مستقيم

موازٍ لمحور السينات، وذلك لأن عند التعويض فيها فإنها تأخذ قيمة ثابتة 1 فقط .

يعنى : د(10) = 1
         د(5) = 1
           د(4.5) = 1
         .
. وهكذا .. د(أ) = 1

حيث أ عدد حقيقى .

الدوال كثيرات الحدود تكون على هذا الشكل :


د(س) = أس^ن + ب س^(ن-1) + جـ س^(ن-2) + .... + د

حيث د هو الحد المطلق ..

مثال : د(س) = 3س^5 + 4س^4 + س³ + 2س² + س + 4

تعتبر دالة كثيرة حدود ومجالها ح .




                                              1
الآن نأخذ المثال الثالث : د(س) = ــــــــــــ
                                             س

نلاحظ ان س موجودة فى المقام.

حيث يمكن التعويض فى الدالة بأى عدد حقيقى فيما عدا الصفر
لماذا ؟؟ لأن الصفر سيجعل المقام بصفر ، والقسمة على الصفر
غير جائزة .

اذا عوضنا بصفر ..

              1
د(0) = ــــــــــــ = كمية غير معرفة .
             0

اذاً مجال هذه الدالة هو  ح - {0}


وبصفة عامة نذكر ما يلى :


مجال الدالة الكسرية هو ح فرق اصفار المقام .


                                                       س² + 2س
مثال "5" : عين مجال الدالة د :  د(س) = ــــــــــــــــــــــــــ
                                                         س + 1

لتعيين مجال الدالة نقول :

مجال الدالة = ح - {اصفار المقام}

ونعين اصفار المقام بهذه الطريقة .. نسأل ما القيمة التى تأخذها س
حتى تجعل المقام يساوى صفر ؟؟

وهى هنا واضحة تماماً القيمة هى س = -1

لأن  -1 + 1  = 0

ولكن نريد تعينها بطريقة علمية فنساوى المقام بالصفر هكذا ..

س + 1 = 0  ومنها  س = -1  (( هى صفر للمقام ))

اذاً المجال = ح - {-1}

                                                        س
مثال "6" عين مجال الدالة د :  د(س) = ــــــــــــــــــــ
                                                    س² - 1

اولاً نوجد اصفار المقام ( بمساواة المقام بالصفر )

س² - 1 = 0   ومنها س² = 1  اذاً س = ±1

مجال الدالة = ح - {±1}

                                                       س² - 1
مثال "7" عين مجال الدالة د: د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                   س² - س - 6



اصفار المقام : س² - س - 6 = 0   بتحليل المقدار الثلاثى .

(س - 3) (س + 2) = 0

اما س - 3 = 0   ومنها س = 3

واما س + 2 = 0   ومنها س = -2

اى ان مجال الدالة = ح - {-2 ، 3}


وهنا نريد ان ننوه الى خطأ يقع فيه بعض الطلاب .

                               
                                                      (س + 2)      
مثال"8" عين مجال الدالة د: د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                    س² - س - 6


الحل الصحيح هو كما سبق نوجد اصفار المقام
بمساواة س² - س - 6 = 0

ومن ثم مجال الدالة = ح - {-2 ، 3}

ولكن البعض يفعل ذلك وهو تحليل المقام هكذا ..


                  (س + 2)
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
            (س + 2) (س - 3)


وبإختصار  (س + 2) فى كلاً من البسط والمقام ..

                        1
د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    س - 3


ومن ثم س - 3 = 0   ومنها  س = 3

اذاً  المجال هو ح - {3}

وهذا غير صحيح .. لأن الدالة الأصلية اصفار مقامها ليست هكذا
فالصحيح هو ايجاد أصفار المقام أولاً ومن ثم تبسيط شكل الدالة
ان امكن ذلك .

وأخيراً : نأخذ مثال "4" أعلاه ونحله جبرياً :

د(س) = جذر(س)

هل يمكن ان يكون ما بداخل الجذر صفر ؟   نعم ممكن

هل يمكن ان يكون ما بداخل الجذر قيمة موجبة ؟  نعم ممكن

هل يمكن ان يكون ما بداخل الجذر قيمة سالبة ؟  غير ممكن

لماذا ؟

لأنه لا يوجد جذر لعدد سالب فى مجموعة الأعداد الحقيقية .

مثال اذا قلنا س² = -1 

هل يوجد عدد عند تربيعه يعطى قيمة سالبة ؟

نحن نعلم ان التربيع يلغى الإشارة السالبة .. اذاً اى عدد حقيقى
مربعة لابد ان تكون قيمة موجبة .

من جهة أخرى س² = -1  اذا احذنا الجذر التربيعى للطرفين

س  = ± جذر(-1)

اذاً لا توجد قيمة حقيقية لعدد حقيقى سالب .

وبناء عليه يتم تعريف مجال الدالة د(س) = جذر(س)  جبرياً

على انه جميع الأعداد الموجبة (فقط) + الصفر .

اذاً مجال الدالة = ح+

يعنى جميع الأعداد الحقيقة الموجبة، واحياناً تكتب

مجال الدالة = ح+ +{0}

,احياناً تكتب مجال الدالة = [0 ، ∞[

واحياناً تكتب مجال الدالة ح ≥ 0

وهذه من افضل الصيغ لها لأنها تلخص المضمون كله فى صيغة مبسطة .

وتقرأ مجال الدالة هو ح حيث ح اكبر من او يساوى الصفر .

وبصفة عامة : مجال الدالة الجذرية هى جميع القيم التى تحقق
ان ما تحت الجذر قيمة موجبة او تساوى الصفر ..

مثال "9" عين مجال الدالة د : د(س) = جذر(3س - 1)

هنا نضع ماتحت الجذر اكبر من او يساوى الصفر .

3س - 1 ≥ 0      ونحل المتباينة .


3س ≥ 1    ومنها س ≥ 1\3

فقط هكذا تعين مجال الدالة ( سهولة )


مثال "10" عين مجال الدالة د : د(س) = جذر(4 - س²)

نضع : 4 - س² ≥ 0     هذا حل .. ونكمل

لكن من الأفضل طالما ان ما تحت الجذر التربيعى دالة  اكبر من
 الدرجة الأولى فيفضل وضعها فى صورة معادلة .. هكذا .

4 - س² = 0  ومنها س² = 4   ومنها س = ±2

الآن نرسم خط الأعداد ونفصله عند القيم 2   ، -2
لنجد انه مقسوم الى ثلاً فترات ، ثم نختار اى عدد
فى كل فترة ونتحقق منه فى العلاقة 4 - س² ≥ 0

اذا حقق العلاقة تكون هذه الفترة ليست مجال الدالة
 ( طبعاً لا نعوض بجميع الأعداد لان هذا مستحيل ..))

واذا لم تحقق العلاقة  4 - س² ≥ 0  تكون ضمن مجال الدالة


المهم .. بعد التعويض نجد ان هناك فترة وحيدة فقط تحقق
مجال الدالة وهى  الفترة من -2  الى 2


اذاً مجال الدالة = [-2 ، 2]




░ ثالثاً : ايجاد بعض الدوال الأخرى░


مجال دالة المقياس ( دالة القيمة المطلقة ) هو ح .

مثال مجال الدالة د : د(س) = |س|   هو ح

مجال الدالة د : د(س) = |3س - 2|  هو ح  .. وهكذا


كذا ايضاً مجال الدالة الأسية هو ح :


مثال : د(س) = 2^س   مجالها ح .

(( ونلاحظ انها دالة اسية لأن س موجودة فى الأس ))


كذا ايضاً : دالتى الجيب وجيب التمام مجالها ح .

مثال : د(س) = جاس   مجالها ح



►♫ايجاد مجال الدالة الكسرية مع دخول بعض الدوال الأخرى عليها♫◄


                                                           1
مثال "11" عين مجال الدالة د: د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــ
                                                   جذر(س+1)

هذه دالة كسرية دخل عليها دالة جذرية .

ونحن نعلم لإيجاد مجال الدالة الكسرية نعين اصفار المقام
(( يعنى نساوى المقام بالصفر ))

ونعلم ايضاً عند ايجاد مجال الدالة الجذرية فإننا نضع ما داخل
الجذر اكبر من او يساوى الصفر .

الآن نوفق بين المفهوم الأول وبين المفهوم الثانى

فنأخذ ما تحت الجذر اكبر من الصفر ( فقط ولا يساوى الصفر )

لأنه اذا ساوى الصفر سيكون المقام يساوى صفر ، وهذا غير جائز .

اذاً مجال الدالة يتعين من خلال وضع :  س + 1 >  0

ومنها س >  -1