ما هى الطريقة العامة لحل المعادلات التربيعية ذات المجهول الواحد ؟

المعادلة تكون على الصورة :

أس² + ب س + جـ = 0

حيث أ ، ب ، جـ أعداد حقيقية ثابتة

أ ≠ 0

لأنه اذا كانت أ = 0  فإن المعادلة تكون على الشكل

ب س + جـ = 0

يعنى تفقد صفتها انها معادلة من الدرجة الثانية .

من أمثلة ذلك :

2س² + 4س - 16 = 0

نأتى بالحد المطلق 16 فى الطرف الأيسر

2س² + 4س = 16

بقسمة الطرفين على 2 ( يعنى معامل س²)

س² + 2س = 8

الآن نضيف نصف معامل س

معامل س = 2   و نصفه = 1

(1)² = 1

بإضافة 1 للطرفين

س² + 2س + 1 = 9

الآن الطرف الأيمن مهىء لأن يكون مربع كامل


(جذر الأول + جذر الثالث)² = 9

(س + 1)² = 9

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين

(س + 1) = ± 3

عندما س + 1 = 3  فإن س = 3 - 1  = 2

عندما س + 1 = -3  فإن س = -1 - 3  = -4


اذاً ك م.ح = {2 ، -4}

.......................................................
مثال 2)

س² - 8س + 15 = 0

س² - 8س = -15

الآن ½(-8) = -4

(-4)² = 16

بإضافة 16 للطرفين

س² - 8س + 16 = -15 + 16

س² - 8س + 16 = 1


(س - 4)² = 1

ومنها   س - 4 = ± 1

عندما س - 4 = 1   فإن س = 5

عندما س - 4 = -1  فإن س = 3


م . ح = {3 ، 5}

...............................................
الملخص : -

الصورة القياسية للمقدار الثلاثى :

أس² + ب س + جـ = 0


أس² + ب س = -جـ  بقسمة الطرفين على أ

            ب             -جـ
س² + ــــــــــ س = ــــــــــ
            أ                أ


                                 ب²
مربع نصف معامل س = ــــــــــــ  .. بإضافته للطرفين
                                 4أ²


           ب               ب²           ب²         جـ
س² + ــــــــ س + ـــــــــــــ = ـــــــــــــ - ـــــــــــــ
           أ                4أ²          4أ²           أ

طبعاً الطرفين الأيمن اصبح مربع كامل
والطرف الأيسر نوحد المقامات ونجمع الكسور ..

             ب             ب² - 4أجـ
[س + ـــــــــــــ]² = ــــــــــــــــــــــــــ
            2أ                  4أ²


بأخذ الجذر التربيعى للطرفين ...

           ب            جذر(ب² - 4أجـ)
س + ـــــــــــ = ± ــــــــــــــــــــــــــــ
          2أ                    2أ


            -ب           جذر(ب² - 4أجـ)
س = ــــــــــــــ  ± ــــــــــــــــــــــــــــ    
           2أ                  2أ


          - ب ±  جذر(ب² - 4أجـ)
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                    2أ


ويسمى هذا القانون العام لحل المعادلات التربيعية
من الدرجة الثانية فى مجهول واحد .

بحيث لو كان موجباً يكون للمعادلة حلين حقيقيين .
واذا كان سالباً يكون للمعادلة حلين عقديين .
واذا كان صفراً يكون للدالة حل واحد حقيقى .