مبادىء المنطق فى الرياضيات

القضايا المنطقية هى جمل خبرية تحتمل الصدق او الكذب..
امثلة على ذلك :-

1) الشمس تشرق من المشرق .   صادقة
2) الذرة متعادلة كهربائياً .       صادقة

هناك قضايا لا نجزم ان كانت صادقة ام كاذبة .. امثلة :-

3) احمد لا يستطيع ان يستيقظ مبكراً   .. ؟؟ لا نعلم لعدم وجود معلومات متوفرة لدينا تؤكد ذلك

4) لا تكذب    ليست قضية اصلاً لأنها امر وليست جملة خبرية .
5) ماذا تقول ؟؟  جملة استفهامية لا تشكل قضية منطقية .

▓ قضية (1) ، وقضية (2) تعتبر قضايا بسيطة فإذا استخدمنا علاقات
تربط بينهما تصبح قضايا مركبة ..

الشمس تشرق من المشرق ⋀ الذرة متعادلة كهربائياً

علاقة الربط هنا العطف (و) رمزنا له بالرمز (⋀ )

الشمس تشرق من المشرق ⋁الذرة متعادلة كهربائياً

علاقة الربط هى ( او ) ونرمز لها بالرمز (⋁) اى ان احداهما تحتمل الصدق والأخر
تحتمل الكذب .

الشمس تشرق من المشرق ∼

وهذا معناه نفى القضية اى ان الشمس لا تشرق من المشرق ( قضية كاذبة )

نستطيع ان نسمى القضية الأولى P , الثانية Q

         اداة العطف (و)  P ⋀ Q
اداة العطف (او)          P ⋁ Q
P ∼ آداة النفى

نلاحظ ان نفى نفى اثبات، وهذا معناه ان : ∼  ∼ = اثبات
مثال على ذلك العبارة P ∼  عند نفيها مرة أخرى .. P = P  ∼ ∼

أمثلة أخرى :

اذا كانت القضية P  تعبر عن 1+1 = 2
وكانت القضية Q  تعبر عن العدد 5 عدد اولى

فإن : P ⋀ Q  تعنى ان 1+1=2  ،  5 عدد اولى
    : P ⋁ Q  تعنى ان اما 1+1=2 او 5 عدد اولى
    : Q ∼ تعنى ان العدد 5 ليس عدد اولى .

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

سأكمل معك الموضوع، وهى القضايا المتكافئة .. لكن قبل ان ابدأ معك
فى القضايا المتكافئة، ندرس اولاً وضع القضايا البسيطة والمركبة، فى
جداول حتى يسهل التعامل معهما، لتكن Q و P قضيتين فإن احتمالات
صدق وكذب كل منهما 4 احتمالات .. لماذا ؟؟
الإحتمالات هى :
1) اما ان يكونان صادقتين معاً
2) اما ان تكون P صادقة ، Q كاذبة
3) اما ان تكون Q كابة، P صادقة
4) اما ان يكونان صادقتين معاً .

ولكن اختصاراً لهذا الكلام ماذا نكتب ؟؟
لو هتكتب بالعربى ممكن نرمز لرمز الصدق (ص)
ورمز الكذب ( ك )  .. لو هتكتب بالإنجليزى يبقى
رمز الصدق (t) ورمز الكذب (f)
حيث ان t اختصاراً لكلمة true ومعناها صداقة ( او موثوق منها )
، رمز f  اختصاراً لكلمة false  اى مزيف او ( كاذب )
القضايا المنطقية لا تخرج عن هذين المعنيين t او f
, وفى بعض المناهج تكتب رمز الصدق تعبر عنه بالرقم (1)
ورمز الكذب تعبر عنه بالرقم (0)  .. على اى حال اختر ما يحلو لك .

ملاحظات : 1) عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من قضيتين بسيطتين = 4
2) عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من ثلاث قضايا بسيطة = 8   ( جربها بنفسك تصل )
3) عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من اربع قضايا بسيطة = 16
بإختصار : عدد احتمالات قضية مركبة تتكون من عدد (n) من القضايا = 2ⁿ

مثال1) كون جدول الصواب والخطأ للقضية P⋀Q
لاحظ معى الآتى :-

هذه قضية مركبة تتكون من قضيتين اذاً عدد احتمالاتها = 2^2 = 4

الإحتمالات هى :  (( سأضع مكان t = 1  ،  f = 0  نظراً لتداخل الرموز هنا فى محرر الموقع ))

الإحتمالات هى : {(1 ، 1 ) ، (1 ، 0 ) ( 0 ، 1 ) ، (0 ، 0 )}   نقوم بترتيبهم فى جدول :-


 P           Q           P⋀Q
1                1
0                  0
0    

طبعاً مش هكمل المثال لكى اوضح لك ان الرموز الاتينية مع الرموز العربية
تحدث مشاكل هنا فى الموقع ..

كما طلبت الشرح بالرموز الاتينية .. لكن انصحك اهم حاجة الفهم  .. ولا يهم الرموز ... الرموز الرياضية رموز اعتباطية ليس لها معنى من الأساس سوى انها تعبر عن قضية معينة .. مثال  :  اكتب  x   ولا اكتب س ؟؟  اكتب اى حاجة لأن ليس لها معنى  الاساس ...  غير انها تعبر عن قضية معينة ... ارجو ان يكون كلامى واضح بالنسبة لك .. الآن نعتبر الآتى : -
وتابع معى الشرح فى الملحق القادم ..

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

تابعت معى المثال الآخير (سأضعه بالرموز العربية)
المثال : كون جدول الصواب والخطأ للقضية س⋀ص

  س    |    ص     |    س⋀ص
   1           1               1
   0           0               0
   0           1               0
   0           0               0

معنى الجدول : فى الأول وضعنا س = 1  ، ص = 1
معناها احتمال القضيتين صادقتين .. وهكذا ..
عندما جمعنا القضيتين معاً بالرمز ⋀ معناه (و)
متى تكون القضية المركبة بالرمز (⋀) صادقة ؟؟
فى حالة واحدة فقط وهى ان يكونوا صادقتين معاً
1             1                تعطى       1
غير ذلك فهى 0  .. والمعنى من هذا يوضح ان
اما تكون القضية ( المركبة ) كلها صادقة، غير ذلك
فهى لا تحتمل معنى الصدق، حتى ولو كانت احداهما
خطأ والأخرى صواب .. نكمل

مثال2) كون جدول الصواب والخطأ للقضية س⋁ص

    س      |       ص       |    س⋁ص
     1                 1                1
     1                 0                1
    1                 1                0
     0                 0                0

وهكذا يتضح لدينا ان كلمة ( او ) صحيحة
فى جميع الحالات فيما عدا الحالة الأخيرة
بمعنى احتمال ان تكون القضية س صادقة او القضية ص صادقة        ( صح )
احتمال تكون القضية س صادقة او ص كاذبة                                ( صح )
احتمال القضية س كاذبة او ص صادقة                                       ( صح )
احتمال القضية س كاذبة او ص كاذبة                                        ( خطأ )

هل تريد ان تعرف بمثال بسيط لماذا الأخيرة ( خاطئة ) ؟؟

مثال بسيط : اما العدد 5 ليس عدد اولى (او) العدد 2 ليس عدد زوجى
ما رأيك ؟؟ هل هذه القضية صحيحة ؟؟ طبعاً خطأ 100% .. تابع معى


مثال3) كون جدول الصواب والخطأ للقضية (س⋀ص) ⋁ ∽س

  س    |     ص      |  (س⋀ص)    |   ∽س    |      (س⋀ص) ⋁ ∽س
  1              1              1                0                          1
  1              0              0                0                          0
  0              1              0                1                          1
  0              0              0                1                          1
 
عندما تجرب بنفسك عدة امثلة ربما تلاحظ التالى :
1) يجب مراعاة الدقة فى ترتيب القضايا المنطقية الجزئية
فى كل قضية مركبة ( هام جداً ) ، فمثلاً  :

(س⋀ص) ⋁ ∽س   ≠  س⋀ (ص ⋁ ∽س )

2) لذلك يجب مراعاة ترتيب الاقواس جيداً..

ماذا لو كانت القضية المركبة لا تحتوى على اقواس ؟؟

** 1- رابط النفي يتبع أول قضية بسيطة تتبعه

2- إن وجد رابطي الاتحاد و التقاطع في قضية ما فإننا نجري عملية التقاطع أولا ثم الاتحاد

3- إن استخدمت نفس أداة الربط في القضية أكثر من مرة فإننا نبدأ بتطبيق تلك الأدوات من اليسار إلى اليمين .

امثلة :

∼س⋀ص = (∼س)⋀ص
س⋁ص⋀ع = س⋁(ص⋀ع)   لاحظ انها قضية مركبة تتكون من ثلاث قضايا بسيطة .
∼س ⋁ ∼ص = (∼س)⋁(∼ص)

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓
مثال4) كون جدول الصواب : س⋀ص ⋁ ∼ع

طبعاً هنا يجب مراعاة الدقة فى الترتيب، وكما اتفقنا نضع اقواس على
القضية المركبة التى تحتوى على رمز ⋀ اولاً : فيصبح الآتى : -

س⋀ص ⋁ ∼ع = (س⋀ص) ⋁ ∼ع

ثم لاحظ انها قضية مركبة تحتوى على ثلاث قضايا بسيطة
اذاً عدد احتمالات الصواب والخطأ الممكنة = (2)³ = 8

  س    |   ص    |    ع    |   س⋀ص    |    ∼ع    |      (س⋀ص) ⋁ ∼ع
   1           1         1             1               0                     1                  
   1           1         0             1               1                     1
   1           0         1             0               0                     0
   1           0         0             0               1                     1
   0           1         1             0               0                     0
   0           1         0             0               1                     1
   0           0         1             0               0                     0
   0           0         0             0               1                     1
 


::: تنبيه هام جداً : استعمل متصفح غير Internet explorer لأن بعض الرموز
الرياضية لا تظهر فيه بشكل جيد، واحياناً تظهر على شكل مربع ::: .. تابع

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

ننتقل الى الصيغ المتكافئة :-
يقال لكل قضيتين مختلفتين فى الشكل ان صيغتهما متكافئتان اذاً كانت قيم
الصواب والخطأ فى كل جدول منهم متماثلتان تماماً .

مثال1) ∼(∼س) = س        لماذا ؟؟ ( طبعاً هنا وضح جداً ان نفى النفى اثبات )

ولتوضيح ذلك نصنع الجدول الآتى : لاحظ ايضاً انها قضية واحدة
اذاً عدد احتمالات الصواب والخطأ = 2^1  = 2 فقط

س       |   ∼س    |     ∼(∼س)
 1              0                  1
 0              1                  0

لاحظ اول عامود ، وآخر عامود .. اذاً نقول ان صيغة القضية  ∼(∼س)  تكافىء الصيغة  س


مثال2) اثبت ان صيغتى القضيتين س   ،  (س⋀ص)⋁س  متكافئتان .

                                     الحـل

بما ان القضية ( المركبة ) تحتوى على س،ص فقط ( قضيتين يعنى ) اذاً
عدد احتمالات الصواب والخطأ فيهما = 2^2 = 4

   س       |   ص    |   (س⋀ص)    |  (س⋀ص)⋁س
    1             1              1                    1
    1             0              0                    1
    0             1              0                    0
    0             0              0                    0

هل لاحظت ان اول عامود مماثل تماماً لآخر عامود ؟؟

الإستنتاج : صيغة القضية س تكافىء صيغة القضية (س⋀ص)⋁س

ملاحظة : لا ندرس علاقات التكافؤ للقضايا نفسها لأنه معروف ان كل
قضية تكافىء تعبر عن نفسها فقط، لذلك ندرس التكافؤ للقضايا المختلفة .

 ص07:42   -   11/10/11