شرح مفصل لاثبات قاعدة هيرون لإيجاد مساحة المثلث بدلالة اطوال اضلاعه

عند حل تمارين الرياضيات من هذا النوع نورد ما يلى ( الإثبات مع الشرح طويل نوعاً ما)

اولا يجب ان تعلم ان الإثبات لن يأخذ سوى صفحة او صفحتين على الأكثر ..
لكنى سأفصل فى الشرح حتى تتضح معنى النظرية وشكلها بالنسبة لك .

ثانيا ً لا اريدك ان تدخل معى فى موجة اثباتات
مثلا ً يجب ان تتفق معى اولا ً ان مساحة المثلث =
نصف مجموع اى ضلعين فى جيب الزاوية المحصورة بينهم ..
(( ابحث انت عن هذا الاثبات البسيط بنفسك لأنه نقطة البدء ))

تأمل شكل " 1 " لمد دقيقة ثم ارجع الى الاثبات هنا مرة أخرى ..


مثلث اضلاعه هى أ َ ، ب َ ، جـ َ  .. ما رأيك لو انطلقنا من القاعدة جـ
حيث نجعلها جاجـ اى نوجد مساحة المثلث بدلالة الزاوية جـ والضلعين
المكونان لها .. اى ان الزاوية محصورة بينهم ..

مساحة المثلث  =½ أ َ ب َ جاجـ

سؤال : مساحة المثلث = ؟؟

½أ َ ب َ    ثم  ؟؟    جا جـ   ... لماذا جا جـ هنا فى الصيغة ؟؟
النظرية اسمها قاعدة  هيرون لإيجاد مساحة المثلث بدلالة
طوال اضلاعه ... اذا ً ليس لـ  جا جـ وجود هنا فى الصيغة
فهمت قصدى ؟؟ اذا ً يجب التخلص منها ..

اذا السؤال المهم والاهم هو كيف نتخلص من جا جـ فى القانون ؟؟؟؟؟!
حيث انها لا تعبر عن طلع لا خى أ َ ولا هى ب َ ولا جـ َ

انظر معى مرة أخرى مساحة المثلث =½ أ َ ب َ جا جـ

ولكن من قانون دائرة الوحدة بما ان جا²جـ + جتا²جـ = 1

اذا ً جا²جـ = 1- جتا²س ومنها

                                جاجـ = جذر ( 1 - جتا²س )

مساحة المثلث =½ أ َ ب َ جاجـ
سؤال ظريف : لو عوضت عن جاجـ = جذر ( 1 - جتا²س )
اذا ما الإختلاف الذى حدث ؟؟؟ حذفت دالة وعوضت عنها بدالة
فيها جتا²جـ  .. اذا ً (( بالبلدى كدا عكتها أكتر ))
اذا ً فى الأول كنا نريد التخلص من جاجـ والآن نريد التخلص من جتا²جـ  ....!!!

أنظر وقد اصبح القانون هو مساحة المثلث =½ أ َ ب َ جذر(1 - جتا²جـ)
اتركه الآن وننطلق الى قانون جيب التمام ::::::::::::::::

انت تعلم ان جـ َ² = أ َ² + بَ² -2أ َ ب َ جتا جـ


                              أ َ² + بَ² - جـَ²
ومنها  اذا ً  جتاجـ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                   2 أ َ ب َ


الآن وبكل بساطة عوض عن جتاجـ بالقانون بدون اى احراج

مساحة المثلث =½ أ َ ب َ جذر( 1 - جتا²جـ )
ولكن قبل التعويض وارجو ان تركز معى جيدا ً
لكى لا تتضارب الأفكار معك .. بالتعويض نجد ان

م ( اى مساحة المثلث )
                                                       

                                         ( أ َ² + بَ² - جـ َ² )²
      = ½ أ َ بَ جذر [1 - [ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]   ]
                                                2 أ َ ب َ
                                                             

                                   

كل هذا تحت الجذر التربيعى : الآن لو ادخلنا أ َ ب َ تحت الجذر ماذا يحدث ؟؟

ستكون عبارة عن أ َ² بَ² (( مضروبة فى الجذر وانت تعلم هذا من اعدادى ))


                           أ َ² بَ² (أ َ² + بَ² - جـ َ² )²
م =½ جذر [ أ َ² بَ² - ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
                                       4 أ َ² بَ²
لاحظ يا اخى ان هذا المقدار الكبير كله تحته الجذر التربيعى ..
بعد الاختصار سيكون ..


                                   (أ َ² + بَ² - جـ َ² )²
م = ½ جذر [ أ َ² بَ² - ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
                                            4

((ثم نوحد المقامات .. طرح كسور ))
لاحظ ان العمليات جميعا ً تتم تحت الجذر .


                     4 أ َ² بَ² - (أ َ² + بَ² - جـ َ² )²
م =½جذر[ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ]
                               4

4 فى المقام اذا نخرجها من تحت الجذر تصبح 2
والآن يكون الجذر يعبر عن البسط فقط ..


                  4 أ َ² بَ² - (أ َ² + بَ² - جـ َ² )²
م =½جذر[ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ]
                                2

2 ليست تحت الجذر .. لو رتبنا الحل على هذا الشكل ..


                 ( 2 أ َ بَ)² - (أ َ² + بَ² - جـ َ² )²
م =½جذر[ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ]
                                2

سيكون المقام عبارة عن فرق مربعين .. بتحليله ينتج ان :


                   

               [2أ َبَ - (أ َ² + بَ² - جـ َ² )]  [2أ َبَ +(أ َ² + بَ² - جـ َ² ) ]
م =½جذر[ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]
                                                  2


حتى لا اربكك اخرج الاثنين من المقام تصبح ½

م = ½ ½جذر [2أ َبَ - (أ َ² + بَ² - جـ َ² )]  [2أ َبَ +(أ َ² + بَ² - جـ َ² ) ]

الآن تستطيع ان تستريح قليلا ً او تتناول فنجانا ً من القهوة ◄☺

الآن بعد اخذت نفس عميق،، سنتعمق أكثر فى تحليل المسألة فى ابسط صورة
لكن يجب ان تراجع قوانين التحليل جيدا ً وخصوصا ً التحليل بالتقسيم، وتحليل
فرق المربعين .. وطريقة اكمال المربع .. حيث اننى لا اذكرهم هنا ..

م = ½½ جذر [2أ َبَ - (أ َ² + بَ² - جـ َ² )]  [2أ َبَ +(أ َ² + بَ² - جـ َ² ) ]


م = ½½جذر[2أ َبَ - أ َ² - بَ² +جـَ²]  [2أ َبَ + أ َ² + بَ² - جـ َ²  ]

رتب ونسق المسألة .. بالتقسيم (( تحليل بالتقسيم ))

م = ½½جذر [- ( أ َ² -2أ َبَ +بَ² ) + جـ ²] [( أ َ²+بَ²+جـَ² ) - جـ َ²]

لاحظ ان هناك فى المسألة مربعات كاملة (( بالتحليل )) ينتج ان :

م = ½½جذر [- (أ َ - بَ )²+ جـَ² ] [( أ َ + بَ)² - جـ َ²]

ركز ...

م = ½½جذر [جـَ² - (أ َ - بَ )²  ] [( أ َ + بَ)² - جـ َ²]

هل حدث تغيير فى شكل التحليل ؟؟!
الآن حلل مرة أخرى .. الجدائين الأول فرق مربعين والثانى
ايضا ً فرق مربعين كلا ً منهم تشعر انه عكس الآخر ..مرة أخرى

م = ½½جذر [جـَ² - (أ َ - بَ )²  ] [( أ َ + بَ)² - جـ َ²]


= ½½جذر[ [جـَ -(أ َ - بَ ) ] [جـَ +(أ َ - بَ ) ] ]   كل هذا مضروب فى
                                   *
              [ [( أ َ + بَ) - جـَ] [( أ َ + بَ)]+ جـَ]

*** لاحظ المقدار طويييل نوعا ً ما ***


= ½½جذر( جـَ -أ َ + بَ )  (جـَ +أ َ - بَ  )
                                *
              ( أ َ + بَ - جـَ)  (أ َ + بَ+ جـَ)

*** لاحظ المقدار الذى فى الأعلى مضروب فى المقدار
الذى بالاسفل بعلامة * فى المنتصف ..ونظرا ً لطول الحل
كتبتها بهذه الطريقة *** .. مرة أخرى ..


م =  = ½½جذر( جـَ -أ َ + بَ )  (جـَ +أ َ - بَ  )
                                     *
                    ( أ َ + بَ - جـَ)  (أ َ + بَ+ جـَ)

يا سلام اهم ما فى التحليل هى الآتية
انت تعلم ان أ َ + ب َ + جـ َ = المحيط
ولكن هناك قوس  واحد فقط يحمل هذا المعنى
والباقى ؟؟ نكملهم يعنى ممكن تضع مثلا ً جـ َ
وتحذفها مرة أخرى - جـَ ليس هناك اشكال اطلاقا ً
مرة أخرى :::

م =  = ½½جذر( جـَ -أ َ + بَ )  (جـَ +أ َ - بَ  )
                                     *
                    ( أ َ + بَ - جـَ)  (أ َ + بَ+ جـَ)



م =  = ½½جذر( جـَ -أ َ + بَ + أ َ - أ َ )  (جـَ +أ َ - بَ + ب َ - ب َ  )
                                                 *
                ( أ َ + بَ - جـَ + جـ َ - جـ َ )  (أ َ + بَ+ جـَ)

م = ½½جذر ( المحيط - 2أ َ ) ( المحيط - 2بَ )
                                    *
                  ( المحيط - 2جـ َ) ( المحيط )

لاحظ ان ½½ = ربع

       1
م = ــــــ جذر ( المحيط - 2أ َ ) ( المحيط - 2بَ )
       4                            *
               ( المحيط - 2جـ َ) ( المحيط )

الآن ندخل ربع تحت الجذر تصبح ثمن ثم نوزعها بالتساوى
على الاربع اقواس كل قوس نقسمه على 2 تحت الجذر

م = جذر  ( المحيط - 2أ َ ) ( المحيط - 2بَ )
            ــــــــــــــــــــــ   ــــــــــــــــــــــــــ
                    2                   2

                             *
         ( المحيط - 2جـ َ)   ( المحيط )
         ـــــــــــــــــــــــ     ـــــــــــــــ
                  2                  2

لاحظ ان المقدار كبير وطويل وكله مضروب فى بعضه تحت الجذر ..!!
تستطيع الآن ان توزع البسط على المقام (( اختزال صورة الكسر الجبرى ))

           المحيط    2 أ َ      المحيط     2بَ
م =جذر[ ــــــــــ - ـــــــــ] [ـــــــــــ - ـــــــــــ]
              2         2          2          2
                              *
        المحيط     2 جـ َ      المحيط    
       [ـــــــــــ - ــــــــــ] [ـــــــــــــــ]
           2          2            2


اذا رمزنا للمحيط مقسوم على 2 برمز وليكن ح
اذا ً مساحة المثلث هى :

المساحة ( م ) = جذر [ح(ح - أ َ ) ( ح - ب َ ) ( ح - جـ َ ) ]

                     
                                                    أ َ + بَ + جـَ
حيث ح = المحيط مقسوم على 2 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                                           2



                      (((((((((( وهو المطلوب إثباته ))))))))))
للمزيد اضغط على هذا الرابط