اثبات (غير مفصل) لمتسلسلة تايلور، وماكلورين

متسلسلة تايلور - ماكلورين .. تعتبر من اهم طرق النشر
والتحليل فى الرياضيات، عند حل تمارين الرياضيات
قد تستوقفك طرق معينة للنشر والتحليل، مثل التحليل
بالتقسيم، والتحليل كفرق ومجموع مربعين، وتحليل 
المربع الكامل، وغيرها من طرق النشر والتحليل
المعروفة، هل تريد ان تعرف ما هى المتسلسلة التى
لخصت كل هذه الطرق فى مضمون واحد وفكرة واحدة ؟
.. نعم انها متسلسلة تايلور، وماكلورين ... واليك فكرة
بسيطة عنها .
ننطلق من النظرية الاساسية فى حساب التفاضل والتكامل
ونظرية القيمة الوسطى ..


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ

ولكن نظرية القيمة الوسطى تقترح عليك الآتى


س
∫  دَ(س) دس  = دَ(جـ) ( س - أ )
أ

وهذه نظرية القيمة الوسطى للتكاملات .. سأثبتها اولا ً


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )                  اقسم على ( س - أ ) وبعد كدا اضربها
أ


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ                     ــــــــــــــــــــــ   ( س - أ )
                         س - أ

          د(س) - د( أ )
اليس : ـــــــــــــــــــــــــــ = متوسط التغير ؟؟ دَ(جـ) التى تقترحها مبرهنة القيمة الوسطى
              س - أ

اذاً :

س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ

وايضاً :

س
∫  دَ(س) دس  = دَ(جـ ) ( س - أ )   حيث جـ عنصر ما بين الفترة من س الى أ
أ

اذاً هو نفس التكامل المحدد لكن له قيمتان .. نستنتج ان


دَ(جـ ) ( س - أ ) = د( س ) - د ( أ )
ولكن بتعميم اكثر وادق ماذا لو بدأنا
البرهان بالخلف ( بالتراجع )
اى اننا نبدأ من المتشقة النونية الى ان نصل الى الدالة نفسها ؟؟

س
∫  د^ن(س) دس   = د^(ن-1)[س] - د^(ن-1) [ أ ]
أ

وايضا ً :

س
∫  د^ن(س) دس = د^ن(جـ) ( س - أ )
أ


حيث جـ عنصر ينحصر فى الفترة [ س ، أ ] حسب مبرهنة القيمة الوسطى


اذاً :

د^ن(جـ) ( س - أ ) = واليك الإثبات : ننطلق من النظرية الاساسية فى حساب التفاضل والتكامل
ونظرية القيمة الوسطى ..


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ

ولكن نظرية القيمة الوسطى تقترح عليك الآتى


س
∫  دَ(س) دس  = دَ(جـ) ( س - أ )
أ

وهذه نظرية القيمة الوسطى للتكاملات .. سأثبتها اولا ً


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )                  اقسم على ( س - أ ) وبعد كدا اضربها
أ


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ                     ــــــــــــــــــــــ   ( س - أ )
                         س - أ

          د(س) - د( أ )
اليس : ـــــــــــــــــــــــــــ = متوسط التغير ؟؟ دَ(جـ) التى تقترحها مبرهنة القيمة الوسطى
              س - أ

اذاً :

س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ

وايضاً :

س
∫  دَ(س) دس  = دَ(جـ ) ( س - أ )   حيث جـ عنصر ما بين الفترة من س الى أ
أ

اذاً هو نفس التكامل المحدد لكن له قيمتان .. نستنتج ان


دَ(جـ ) ( س - أ ) = د( س ) - د ( أ )
ولكن بتعميم اكثر وادق ماذا لو بدأنا
البرهان بالخلف ( بالتراجع )
اى اننا نبدأ من المتشقة النونية الى ان نصل الى الدالة نفسها ؟؟

س
∫  د^ن(س) دس   = د^(ن-1)[س] - د^(ن-1) [ أ ]
أ

وايضا ً :

س
∫  د^ن(س) دس = د^ن(جـ) ( س - أ )
أ


حيث جـ عنصر ينحصر فى الفترة [ س ، أ ] حسب مبرهنة القيمة الوسطى


اذاً :

د^ن(جـ) ( س - أ ) = د^(ن-1)[س] - د^(ن-1) [ أ ]

وارجو عدم الإنزعاج من هذا .. د^(ن-1) ليس المقصود من ^ هنا اى اس
لا لا  .. المقصود منها المشتقة النونية مطروح منها واحد فقط ..
يعنى مثلاً لو احنا بدأنا بالخلف من المشتقة 3  اذاً المشتقة ن - 1 ستكون
المشتقة الثانية .. وهكذا .


د^ن(جـ) ( س - أ ) = د^(ن-1)[س] - د^(ن-1) [ أ ]

وبمكاملة الطرفين بالنسبة لـ س فى نفس الفترة من س الى أ  ينتج ان :

             ( س - أ )²                           س                             س
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــ =[ د^(ن-2)[س]  ]    - [ د^(ن-1) [ أ ] س  ]
                  2                                  أ                                أ


لاحظ ان كلاً من د^ن(جـ) ، د^(ن-1)[ أ ]  ثوابت
الآن نقوم بفك هذا التكامل المحدود :


             ( س - أ )²                           س                             س
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــ =[ د^(ن-2)[س]  ]    - [ د^(ن-1) [ أ ] س  ]
                  2                                  أ                                أ

           ( س - أ )²
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــ = د^(ن-2)[س] - د^(ن-2)[ أ ] - د^(ن-1) [ أ ] س + د^(ن-1) [ أ ] أ
                2

نقوم مرة أخرى بمكاملة الطرفين بالنسبة لـ س فى نفس الفترة ..
وصلنا الى :

           ( س - أ )²
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــ = د^(ن-2)[س] - د^(ن-2)[ أ ] - د^(ن-1) [ أ ] س + د^(ن-1) [ أ ] أ
                2

              (س - أ )³                            س                          س
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــــ = [ د^(ن-3)[س] ]  - [ د^(ن-2)[ أ ] س ]
                 2 * 3                               أ                             أ
                                س                                س
- [ د^(ن-1)[ أ ] س² / 2 ]     + [ د^(ن-1) [ أ ] أ س ]
                                أ                                    أ

نقوم بفك التكاملات المحددة ..

             (س - أ )³
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــ  = د^(ن-3)[س] - د^(ن-3)[ أ ] - د^(ن-2)[ أ ] س + د^(ن-2)[ أ ] أ
               2 * 3

- د^(ن-1)[ أ ] س² / 2 + د^(ن-1)[ أ ] أ² / 2  + د^(ن-1) [ أ ] أ س - د^(ن-1) [ أ ] أ²


نقوم مرة أخرى بمكاملة الطرفين بالنسبة لـ س فى الفترة المحددة من س الى أ  ينتج ان :

            (س - أ )^4
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــ = ......
              2 * 3 * 4

لماذا لم اكمل باقى الخطوات ؟؟ بكل بساطة لأنها طويلة جدا ً وهى معك الى مالا نهاية ..
لكن الأهم هو ان نعرف الى ماذا سنتنتهى معى بعد مكاملتها عدة مرات ؟؟
من خلال الإستقراء الرياضى سنجد انها تنتهى عند مشتقة صفرية .. ن - ن = 0
ما معنى مشتقة صفرية ؟؟ اكيد هى الدالة الاصلية هى المشتقة الصفرية ..
ملحوظة : حدين كهذين مثلاً : د^(ن-1) [ أ ] أ س - د^(ن-1) [ أ ] أ²
ممكن ان نأخذ منهم د^(ن-1) [ أ ] أ عامل مشترك
د^(ن-1) [ أ ] أ  ( س - أ )  .... وهكذا فأرجو ان تنتبهوا لذلك .. وبناء على هذا الترتيب
فى الحدود والتنسيق فيها تكون المتسلسلة على هذا الشكل ..

         
              ( س - أ )^ن                                         دً(أ)                دً َ(أ)
د^(ن)(جـ) ــــــــــــــــــــــ = د(س) - د(أ) - دَ(أ) (س-أ) - ــــــــــ (س-أ)² - ـــــــــ (س-أ)³ - ....
                    ن!                                                 2                  3!

ثم نؤدى الحدود السالبة الى الطرف الآخر ونجعل د(س) لوحدها فى طرف ينتج ان

                                     دً(أ)                دً َ(أ)                                  ( س - أ )^ن
د(س) = د(أ) + دَ(أ) (س-أ) + ــــــــ (س-أ)² + ـــــــ (س-أ)³ + ..... + د^(جـ) ــــــــــــــــــــــ
                                      2!                  3!                                          ن!

حيث جـ عنصر ما بين الفترة من س الى أ التى تقترحها عليك مبرهنة القيمة الوسطى .
ملحوظة أ = اى شىء ... ضع 1  صح .. ضع 2 صح ايضاً .. ضع صفر ؟؟ صح
وهذه ما تسمى بمتسلسة ماكلورين .. اى اننا ننشر الدالة فى الفترة [ س ، 0 ]
اى عندما تقترب من الصفر ..

                                 دً(0)            دً َ(0)                                  س^ن
د(س) = د(0) + دَ(أ) س + ـــــــ س² + ــــــــــ س³ + ........ + د^(جـ) ــــــــــــ
                                  2!                3!                                      ن!

وهذا هو مفكوك " ماكلورين حالة خاصة من متسلسلة تايلور .
اما نسبة الخطأ فى مفكوك تايلور وماكلورين :
           
                   ( س - أ )^ن+1
= د^(جـ) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ       وسنتحدث عنه لاحقاً ..
                      ( ن + 1 )!


والإثبات ان المشتقة ما بعد النونية لابد ان تكون بصفر من اجل ن عدد صحيح .. لماذا ؟؟
مثال : اوجد المشتقة ما بعد النونية للدالة د(س) = س³

دَ(س) = 3س²
دً(س) = 6س
دً َ ( س) = 6   وهذه هى المشتقة النونية (( وهى هنا المشتقة الثالثة ))
اما المشتقة الرابعة (( مشتقة ما بعد المشتقة النونية )) = صفر
نظراً لأن 6 عدد ثابت مشتقة = 0

ولكن ماذا لو ن عدد غير صحيح او ادالة ليست فيها اس اصلاً كـ جا وجتا .... وغيرها .. ؟!
من اجل ذلك ننبه انه واذا كانت ن صحيح عند اعادة تعريفنا للدالة لا نضع نسبة الخطأ هذه
لأنها بالتأكيد ستكون بصفر .

للمزيد يمكنك زيارة هذا الرابط ،