اوجد مشتقة : f(x) = arctan(x^2 + 1 )

f(x)=arctan(x²+1)

ستكون اشتقاق هذه الدالة امر سهل
اذا ما عرفت ما هو اشتقاق الدالة العكسية
لظل الزاوية .. اسمحلى هكتب بالعربى ..

ص = ظا^-1(س² + 1)     ، وهذا معناه ان :  س² + 1 = ظا(ص)

                   بإشتقاق الطرفين بالنسبة لـ س

2س = صَ قا²ص

   (( تذكر مشتقة الدالة المثلثة = مشتقة الزاوية × مشتقة الدالة نفسها ))


صَ = 2س/قا²(ص)     اذاً :  صَ = 2س × جتا²ص

لاحظ ان مقلوب قا²ص = جتا²ص

ولكن : من خلال العلاقة اعلاه : س² + 1 = ظا(ص)  وبرسم مثلث فيثاغورث

                         (( انظر الرسم ))

                                                         1
ومن الرسم نستنتج ان : جتاص =  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                            جذر[(س² + 1)² + 1 ]

بالتعويض فى المشتقة الأصلة : صَ = 2س × جتا²ص

                                       1
صَ = 2س ×[[ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   ]]²
                        جذر[(س² + 1)² + 1 ]


                            1                               2س
صَ = 2س × ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                   (س² + 1)² + 1              (س² + 1)² + 1


ولإتشقاق هذا النوع من المسائل ( بصفة عامة نورد ما يلى )




                                        مشتقة الزاوية
مشتقة الظل العكسى = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                        مربع الزاية  + 1