عين النهاية الآتية مستعيناً بقاعدة لوبيتال : lim tan(4x) / sqrt(1-cos(6x))

أوجد النهاية
$\lim_{x \to 0} \frac{tan(4 x)}{\sqrt{1-cos(6 x)}}$

بما أن التعويض المباشر لا يخرج بنهاية فيمكن إيجاد هذه النهاية بطريقة لوبتال بتربيع البسط والمقام أولاً ثم إيجاد جذر النهاية كما يلي:
:$\lim_{x \to 0} \frac{tan^2(4 x)}{1-cos(6 x)} = \lim_{x \to 0} \frac{8 tan(4 x)sec^2(4 x)}{6 sin(6 x)}$

بالتبسيط والاشتقاق بقاعدة لوبتال مرة أخرى نحصل على
:$= \lim_{x \to 0} \frac{4 tan(4 x) sec^2(4 x)}{3 sin(6 x)} = \lim_{x \to 0} \frac{32 tan^2(4 x)sec^2(4 x) + 16 sec^4(4 x)}{18 cos(6 x)}=\frac{8}{9}$

بأخذ جذر النهاية نجد أن:

:$\lim_{x \to 0} \frac{tan(4 x)}{\sqrt{1-cos(6 x)}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3}$