نهاية لم تتعين بقاعد لوبيتال

الأخ فوزى سأل : Maths Lover
اهلا
ارجو من حضرتك تحل هذة النهاية
lim tan(4x) / sqrt(1-cos(6x) ) when x approaches 0
بس ياريت يكون الحل على هيئة بسط و مقام ... حسب علمى فلا يوجد نهاية .. لكن لا اعرف كيفية اللحل ..
حاولت حلها لوبيتال لكن وجدت انها ستكون مرهقة
فما اسهل طريقة لحلها ؟؟ و ما هى قاعدة تايلور لحل النهايات ؟؟ وكيف تستخدم هنا ؟؟
..وشكرا

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

مرحباً اخى فوزى .. خلينا نضع المسألة بالعربى افضل :-

            ظا(4س) 
نهــــا ــــــــــــــ = 0/0 كمية غير معينة
س← 0  جذر(1 - جتا6س )

طبعاً لها حل بقاعدة لوبيتال .. كيف ؟؟

مشتقة ظا(4س) = 4قا²(4س)

                         6جا6س              3جا6س 
مشتقة جذر(1-جتا6س) = ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ
                     2جذر(1-جتا6س)       جذر(1-جتا6س) 

(( سأتسحدث عن اشتقاق الجذر لاحقاً ))

النهاية اصبحت كالـآتى :

                        4قا²(4س) 
نهــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــ
س ← 0                    3جا6س
                    ــــــــــــــ 
                     جذر(1-جتا6س) 

                    جذر(1-جتا6س) 
نهــــا 4قا²(4س) × ـــــــــــــــ (( لاحظ ان مقام المقام بسط ))=
س ← 0                  3جا6س

ولكن قا = مقلوب الجتا .. بالتعويض : -

               4             جذر(1-جتا6س) 
= نهـــا ـــــــــــــــ× ـــــــــــــــــ
س ← 0      جتا²(4س)            3جا6س

              4جذر(1-جتا6س) 
= نهـــــا ــــــــــــــــــــــ
س ← 0        جتا²(4س) × 3جا6س

لاحظ عند التعويض س = 0 تعطى 0/0 ايضاً .. قاعدة لوبيتال تقترح عليك
الآتى : تظل تشتق كلاً من البسط والمقام على حدى الى ان يتعين الناتج
نقوم بالإشتقاق مرة ثانية ..

            4 جذر(1-جتا6س) 
= نهـــــا ــــــــــــــــــ
س ← 0      جتا²(4س) × 3جا6س

                             4×6جا6س            12جا6س 
مشتقة : 4جذر(1-جتا6س) = ــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ
                          2جذر(1-جتا6س)       جذر(1-جتا6س) 

مشتقة المقام : جتا²(4س) × 3جا6س

= لاحظ مشتقة الأول فى الثانى + مشتقة الثانى فى الأول
حسب قاعدة حاصل الضرب ...

مشتقة المقام مرة أخرى : [ جتا(4س) ]² × 3جا6س التربيع جعلناه على القوس

تذكر ان مشتقة القوس = مشتقة القوس × مشتقة ما داخل القوس
( هتبقى طويلة نوعاً لكن تحتاج ترتيب منك )

مشتقة : [ جتا(4س) ]² × 3جا6س

= 2 [ جتا(4س) ] × 4 ×-جا(4س) × 3جا6س + 18جتا6س × [ جتا(4س) ]²

= -24جا(4س) جا(6س) جتا(4س) + 18جتا(6س) جتا²(4س)

كل هذا مشتقة المقام :: الآن نضع النهاية بشكلها الجديد ..

جا6س 1
نهـــا ــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ← 0 جذر(1-جتا6س) -24جا(4س) جا(6س) جتا(4س) + 18جتا(6س) جتا²(4س



وبوضع س=0 نجد النهاية الأولى تعطى كمية غير معينة، والنهاية الثانية = 1\18 ـ


المهم ستلاحظ شيئاً غريباً يحدث وهو ان النهاية لن تتعين بإستخدام قاعدة لوبيتال
والسبب هو مشتقة الجذر .. لماذا ؟؟

مشقتة الجذر = مشتقة ما داخل الجذر / 2 × الجذر
ولكن هذه القيمة تُعطى دائماً كمية غير معينة
نظراً لوجود جا فى البسط، ومقدار فى المقام = 0 عندما س = 0

ممكن نستعين بمنشور تايلور، ونعيد تعريف الدالة ونقوم بإشتقاقها مرة
أخرى .. الحل سأضعه فى الرد القادم ان قدر المولى

...............................................................

لاً طبعاً عندما لا تتعين النهاية بقاعدة لوبيتال، فليس من الضرورى
ان تكون النهاية غير موجودة.... لكنى اتوقع ذلك فى هذا المثال، وهو
ان النهاية عندما س = 0 غير موجودة .. لماذا ؟؟


هنفرض ان هذه النهاية = ص ثم نربع الطرفين ... انظر

      ظا4س 
ــــــــــــــــــ = ص بترتبيع الطرفين
   جذر(1-جتا6س)

  [ ظا4س ]²
ـــــــــــــــ = ص²
  1 - جتا6س

            [ ظا4س ]
نهـــــا ـــــــــــــــــ = 0/0 عندما س = 0
  س← 0     1 - جتا6س

لاحظ اننا نشتق ص² والتى افترضنا ان النهاية = ص .. المهم

مشتقة البسط = 2 ظا4س × 4قا²(4س) = 8ظا(4س)×قا²(4س)

مشتقة المقام = 6جا6س

                        8ظا(4س)×قا²(4س)   4ظا(4س)×قا²(4س) 
النهاية اصبحت : نهــــا ـــــــــــــــ = ــــــــــــــــ
                س ← 0       6جا6س            3جا6س

ضع س = 0 تجد انها كمية غير معينة ايضاً .. اشتق مرة أخرى كلاً من البسط
والمقام على حدى ..

مشتقة البسط : 4ظا(4س)×قا²(4س)

= 16قا²(4س) قا²(4س) + 2قا4س× 4قا4س ظا4س × 4طا4س

(( سأوضح لك هذه الخطوة ان اردت ذلك.. ولكنها قوانين اشتقاق عادية ))

مشتقة المقام : 3جا6س

= 18جتا6س



بدون وضع البسط ( لأنه اصبح طويل جداً ) لكن عوض عندما س = 0
ولاحظ ان ظا0 = 0 وهذا معناه ان معظم المقدار ( البسط ) سيختصر
ويبقى منه : 16 [قا4س]^4

مشتقة المقام عندما س = 0 = 18

                         16[قا4س]^4      16[قا0]^4
النهاية من جديد : نهــــا ـــــــــــ = ـــــــــــــ
                    س← 0    18              18

ولكن قا0 = 1 لماذا ؟؟ انظر .. [قا0]^4 =(1/ جتا0 )^4 ولكن جتا0 = 1


اذاً المقدار كله = 1

النهاية = 16\18 طبعاً لا تنسى ان هذه نهاية ص²

ص² = 16\18 بأخذ الجذر التربيعى للطرفين

          4           4             4
ص = ± ــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــ
      جذر(18)    جذر(9 × 2)       3جذر2

     4      جذر2      4جذر2    2جذر2
= ــــــ × ــــــ = ـــــــ = ـــــــ ≈ ± 0.9428
  3جذر2     جذر2       6         3

طبعاً احتمال تقول اذاً النهاية غير موجودة لأنها من المفترض اما
ان تكون سالبة او موجبة .. ناخذ الحل الموجب ام الحل السالب ؟؟
ببساطة شديدة جداً ضع س قريبة من الصفر مثلاً ضع س = ربع
ربع ( على يمين الصفر )

         ظا1
= ـــــــــــــــــ ≈ 9.429
    جذر(1-جتا1.5)

نختبرها عندما س = - ربع

     ظا-1
ــــــــــــــــــ ≈ -9429
 جذر(1-جتا-1.5)

ماذا تلاحظ ؟؟ هى نفس النهاية تماماً لكن بإشارة سالبة...!
جرب وضع س = ثمن ، ثم - ثمن .. ستصل الى
ان النهاية على يمين الصفر لا تساوى النهاية على يسار الصفر
اذاً النهاية غير موجودة .. لاحظ النهاية على يمين الصفر = 0.9428
النهاية على يسار الصفر = - 0.9428
اذا فيه اى مشكلة فى الشرح اطرحها.