التفاضل فى ابسط معانيه

 التفاضل هو تفاضل شىء على شىء
 التفاضل هى الكمية المتناهية فى الصغر
مثال : عندما تأكل طعام ما ويتفضل معك
فضلات،فنعلم ان الأصل هو الطعام ، اما باقى
الطعام نقول عليه فضلة .. ماذا لو لم يتبقى من
الطعام الى شىء يسير جدا ً يكاد لا يرى بالعين
المجردة ؟؟ يعنى الطبق ممسوح من الآخر ههههه
نقول على هذه الفضلات انها فضلات متناهية فى الصغر
تكاد لا ترى بالعين المجردة والاصل هو الطعام نفسه ..


الآن : لو جلس كلا ً من محمدين وحسنين فى مطعم وانهيا
طعامهما،ولم يتبقى منهم شىء الا قلة قليله جدا ً تكاد لا ترى
بالعين المجردة .. الآن نريد ان نحسب ما هى نسبة مفاضلة
محمدين الى مفاضلة حسنين .. هذه العملية تسمى تفاضل
او مفاضلة .. الآن نحن لا نعرف فضلات الطعام فى الطرفين
اى عند محمدين وحسنين، فالنفرض انها فضلة متناهية جدا جدا
فى الصغر تكاد تؤول الى الصفر .. فنقول ان نسبة مفاضلة
محمدين الى حسنين 0/0  الآن واجهتنا مشكلة عويصة وحرجة
ما هى قيمة 0/0 ؟؟ هل هى واحد ؟؟ بناء على القاعدة التى
تقول اننا اذا قسمنا اى شىء على نفسه يكون الناتج واحد ..!
ولكن السؤال هنا القاعدة ماذا تقول ؟؟ لو قسمنا شىء ؟؟ اليس
كذلك ؟؟ فهل الصفر شىء ام لا شىء ؟؟! طبعا ً المعروف ان الصفر
هو لا شىء اذا ً هذه القاعدة لا تنطبق عليه، ونقول ان الكمية غير معينة
اى ان الناتج لم يتعين بعد .. من وجهة نظر رياضية صفر/صفر كمية غير معينة
لأننا مثلا ً لو اخذنا مثال بسيط يقول .. 30 / 6 = 5  هذا السؤال قولنا
ما الرقم او العدد الذى اذا ضربته فى 6 يكون الناتج 30 وكان الناتج هو 5
اى ان الناتج تعين وهو 5 ... الآن 0/0 = ؟؟ ما الرقم او العدد الذى اذا ضربته
فى صفر يكون الناتج صفر ؟؟ 0*1 = صفر ، 0*2 = صفر  .. س * صفر = 0  ؟؟؟
....... اذا ً الناتج قيمة غير معينة ....


الآن اترك هذا المثال ونتجه الى استخدامات التفاضل فى الرياضيات
عند رسم دالة ما فإن هذا الدالة نريد ا نحسب فيها مقداء تغير احداثيها الصادى
على مقدار تغير احداثيها السينى او ما يسمى بالميل،،


ما هى فائدة ايجاد ميل الدالة ؟؟
الإجابة : دراسة سلوكها فى جميع حالتها او على اى نقطة تقع عليه
اى على منحنى الدالة (( اذا كانت اعلى من الدرجة الأولى ))
معنى الميل هو .. عندما تتغير ص بمقدار كذا تتغير معها س مقدار كذا ..
ونقول على هذا الميل انه ميل ثابت لا يتغير، ولكن فى حالة ميل الدالة
التربيعية يصعب ايجاد ميل ثابت لها لأن من شروط الميل ان يكون ثابت
انه يمثل خط مستقيم وليس منحنى ..! فهل المنحنى له ميل ؟؟
هل المنحنى يميل على محور السينات ؟؟ طبعا ً هو لا يميل لأنه ليس
مستقيم .. لكن الاغرب من ذلك ان جميع النقاط التى تقع عليه تميل على
محور السينات ...! الآن تخيل معى الدالة التى تمثل منحنى تخيل جميع النقاط
التى تقع على المنحنى .. هل يمكن فرد هذا المنحنى حتى يكون على شكل مستقيم
حتى يسهل ايجاد ميل الدالة ؟؟ طبقا ً لو فعلنا سيتغير شكل الدالة تماما ً وتصبح دالة
من الدرجة الأولى ..!


كيفية ايجاد الميل .. فى المرحلة المتوسطة نعلم ان فكرة ايجاد ميل مستقيم
تتعين بإيجاد نقطتين عليه اذا ً اعتبرنا ان النقطة الأولى أ  ( س1 ، ص1 ) والنقطة
الثانية ب ( س2 ، ص2 )  الميل هو فرق الصادات على فرق السينات (( هندسة
تحليليه - لذلك راجع هذا الجزء على الشبكة التربيعية حتى تفهم لماذا تم ايجاد
الميل بهذه الطريقة )) المهم ..


                    ص2 - ص1
الميل = م = ـــــــــــــــــــــــــــ = ميل دالة تمثل خط مستقيم
                   س2  - س1


ونقول على هذا الميل انه متوسط التغير .. هيل يمكن ان نقول
الميل يساوى فرق السينات على فكرة الصادات ؟؟ نعم يمكن
ذلك ولكن نقول هذا الميل يعبر عن مقدار تغير س على مقدار
تغير ص ..


مثال1) ص = 2س + 1  نعلم بدون قانون ان ميل هذه الدالة = 2
وان الجزء المقطوع من محور الصادات = 1  .. انظر شكل " 1 "




مثال 2 ) اوجد ميل الدالة  ص = س²
عند رسمك لهذه الدالة " انظر شكل " 2 "
ميل هذه الدالة غير ثابت لأنها منحنى
الآن وقد عرفنا ان الميل يتعين بأيجاد نقطتين عليه
اى على الخط المستقيم .. لو فرضنا اننا سنأخذ نقطتين
قريبتين جدا ً على المنحنى ونوجد الميل لهم فنقول نفرض
ان فرق السينات س2 - س 1  يؤول الى الصفر عندما يؤول
س2 - س 1 الى الصفر تؤوول معه ايضا ً ص2 - ص1 الى الصفر
وهذا شىء طبيعى .. لو فرضنا ان س2 - س 1 = هـ
حيث هـ كمية متناهية فى الصغر تسعى الى الصفر


س2 - س 1 = هـ


الآن نريد ان نوجد الميل عند نقطتين قريبتين على المنحنى


             د ( س2 )  - د ( س 1 )
الميل = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 س2 - س1


وفرض س2 - س1 = هـ ومنها س2 = س1 + هـ
بالتعويض فى الميل ..


        د(س1 + هـ ) - د(س1 )
الميل = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                   هـ


بوضع هـ = صفر حيث انها متناهية فى الصغر


        د(س1) - د(س1)        0
الميل = ـــــــــــــــــــــ   = ـــــــــــ = كمية غير معينة ..!
                 0                  0


وقد بينا سابقا ً لماذا هى كمية غير معينة .. الآن نعود الى اصل
المسألة لكن لا نضع هـ = صفر .. نعوض اولا ً


         د ( س1 + هـ ) - د (س1)
الميل = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                       هـ


وبفرض ان س1 هى س لأنهم الآن اصبحوا متساويين ..!


              د( س + هـ ) - د(س)
الميل = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  
                         هـ    


      (س + هـ )²  - س²
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 هـ


عوضنا عن قيمة د(س + هـ ) وعن قيمة د ( س )
الآن بفك القوس فى البسط ( مربع كامل )


             س² + 2هـ س + هـ² - س²
الميل = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                          هـ


              2 هـ س + هـ²
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                     هـ


بأخذ هـ مشترك فى البسط ..


                 هـ ( 2س + هـ )
الميل= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                        هـ


الآن هل نستطيع اختصار هـ مع هـ ؟؟
الجواب اذا كانت تساوى الصفر تماما ً
لا جوز اما اذا كانت تؤوول الى الصفر
يجوز .. فنقول ان الاختصار لا يجوز فى
حالة هـ = الصفر .. الآن نريد نهاية المقدار
السابق عندما تسعى هـ ( فرق السينات )
الى الصفر ...




                                   هـ ( 2س + هـ )
فنقول:     نهــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ
           هـ ← 0                     هـ


الآن وبكل سهول تستطيع ان تختصر هـ مقاما ً
مع هـ بسطا ً .. النهاية هى عندما تسعى هـ الى الصفر




= 2س + هـ  الآن نستطيع ان نهمل القيمة هـ .. لماذا ؟؟
لأنها كمية متناهية فى الصغر ...! فنقول ان الميل = 2س


هل هذه القيمة صحيحة ؟؟ الجواب : لا ..! لكنها دقيقة الى حد ما
فنقول ان الميل = 2س .. اى ان الميل يحتوى على مجهول
وهو س اى ان الميل غير ثابت .. اى ان الميل يتغير بتغير قيمة
س .. اى ان الميل يتغير بتغير كل نقطة تقع عليه ..!


الخلاصة لا نقول ان ميل الدالة يساوى عدد ثابت لأن ميلها غير
ثابت لكن ممكن نوجد ميلها عند نقطة .. مثلا ً ميل الدالة عند س = 1
ما هو ؟؟ بالتعويض فى الميل الأصلى ..


الميل = 2س  اذا ً الميل عند س = 1   هو  2


للتوضيح انظر شكل " 3 "  .. ارجو ان اكون قد افادتك . 

www10.0zz0.com

[2]	ص = س²(صور) www10.0zz0.com

[3]	الميل عند س = 1(صور) www9.0zz0.com

للمزيد (حل تمارين الرياضيات)